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还记得角平分线的性质定理与判定定理吗？还记得角平分线的性质定理与判定定理吗？角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE．角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．∴OC是∠AOB的平分线21EDCPOBA作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?用心想一想，马到功成发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．DFEMNCBAP用心想一想，马到功成DEFMNCBAP证明：三角形三条角平分线相交于一点．已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于点P．定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．三角形角平分线的性质定理[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．21cm242DEBD224[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．用心想一想，马到功成DABEC(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．CB1A2PDEO[例2]已知:如图,点P在∠AOB的内部，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E，且PD=PE.求证:OP平分∠AOB.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E∴∠ODP=∠OEP=90°∵PD=PE,OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）∴OP平分∠AOB.实践应用，深化提高在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。EDCBA要注意引导学生分析问题、解决问题的思考方法，要让他们习惯于直接运用定理解决问题，而不是又回到运用全等来解决问题。课内拓展延伸如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.CBAEDO课堂小结,畅谈收获：本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．布置作业：1.完成教材习题第1、2、3、4题；2.完成学习之友相关习题。