弹性力学试题及答案.

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弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量100xMPa,50yMPa,5010xyMPa,则主应力1150MPa,20MPa,16135。8、已知一点处的应力分量,200xMPa,0yMPa,400xyMPa,则主应力1512MPa,2-312MPa,1-37°57′。9、已知一点处的应力分量,2000xMPa,1000yMPa,400xyMPa,则主应力11052MPa,2-2052MPa,1-82°32′。10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中,单元的形函数Ni在i结点Ni=1;在其他结点Ni=0及∑Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√”,在错误命题后的括号内打“×”)1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。(√)5、如果某一问题中,0zyzxz,只存在平面应力分量x,y,xy,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应力问题。(√)6、如果某一问题中,0zyzxz,只存在平面应变分量x,y,xy,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应变问题。(√)9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。(√)10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。(√)14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。(√)15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。(√)三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1)ByAxx,DyCxy,FyExxy;(2))(22yxAx,)(22yxBy,Cxyxy;其中,A,B,C,D,E,F为常数。解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程00xyyxxyyyxx;(2)在区域内的相容方程02222yxyx;(3)在边界上的应力边界条件sflmsfmlysxyyxsyxx;(4)对于多连体的位移单值条件。(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量312xCQxyx,2223xyCy,yxCyCxy2332,体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。解:将所给应力分量代入平衡微分方程00xyyxxyyyxx得023033322322212xyCxyCxCyCxCQy即0230333222231xyCCyCQxCC由x,y的任意性,得023030332231CCCQCC由此解得,61QC,32QC,23QC3、已知应力分量qx,qy,0xy,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解:将已知应力分量qx,qy,0xy,代入平衡微分方程00YxyXyxxyyyxx可知,已知应力分量qx,qy,0xy一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程:yxxyxyxyyx22222)1(2)()(将已知应力分量qx,qy,0xy代入上式,可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程:yxxyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量qx,qy,0xy代入上式,可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1)Axyx,3Byy,2DyCxy;(2)2Ayx,yBxy2,Cxyxy;(3)0x,0y,Cxyxy;其中,A,B,C,D为常数。解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即yxxyxyyx22222将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:(1)相容。(2)CByA22(1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则0x,0y,0xy(1分)。5、证明应力函数2by能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,0b)。解:将应力函数2by代入相容方程024422444yyxx可知,所给应力函数2by能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为byx222,022xy,02yxxy对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边,2hy,0l,1m,0)(2hyxyxf,0)(2hyyyf;l/2l/2h/2h/2yxO下边,2hy,0l,1m,0)(2hyxyxf,0)(2hyyyf;左边,2lx,1l,0m,bflxxx2)(2,0)(2lxxyyf;右边,2lx,1l,0m,bflxxx2)(2,0)(2lxxyyf。可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数2by能解决矩形板在x方向受均布拉力(b0)和均布压力(b0)的问题。6、证明应力函数axy能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,0a)。解:将应力函数axy代入相容方程024422444yyxx可知,所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力,对应的应力分量为022yx,022xy,ayxxy2对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:上边,2hy,0l,1m,afhyxyx2)(,0)(2hyyyf;下边,2hy,0l,1m,afhyxyx2)(,0)(2hyyyf;左边,2lx,1l,0m,0)(2lxxxf,aflxxyy2)(;右边,2lx,1l,0m,0)(2lxxxf,aflxxyy2)(。l/2l/2h/2h/2yxOOxybqg可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此,应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设0x。由此可知022yx将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式)()(,21xfyxfyx将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414dxxfddxxfdy这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即0)(414dxxfd,0)(424dxxfd这两个方程要求ICxBxAxxf231)(,KJxExDxxf232)(代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得2323)(ExDxCxBxAxy对应应力分量为022yxgyEDxBAxyxy26)26(22CBxAxyxxy2322以上常数可以根据边界条件确定。左边,0x,1l,0m,沿y方向无面力,所以有0)(0Cxxy右边,bx,1l,0m,沿y方向的面力为q,所以有qBbAbbxxy23)(2上边,0y,0l,1m,没有水平面力,这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即0)(00dxybxy将xy的表达式代入,并考虑到C=0,则有0)23(2302302BbAbBxAxdxBxAxbb而00)(00dxybxy自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即0)(00dxyby,0)(00xdxyby将y的表达式代入,则有02323)26(2020EbDbExDxdxEDxbb022)26(230230EbDbExDxxdxEDxbb由此可得2bqA,bqB,0C,0D,0E应力分量为0x,gybxbyqy312,23bxbxqxy虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为xVfx,yVfy,其中V是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示

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