第12讲主从联动模型(解析版)

-1-中考数学几何模型12：主从联动模型名师点睛①当轨迹为直线时思考1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？PQABCNCBAQPM揭秘：将点P看成主动点，点Q看成从动点，当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线，且Q点运动路径长为P点运动路径长的一半．思考2如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.-2-揭秘：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1．可以这样理解：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.思考3如图，点C为定点，点P是直线AB上的一动点，以CP为斜边作Rt△CPQ，且∠P=30°，当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.揭秘：条件CP与CQ夹角固定时，P、Q轨迹是同一种图形，且有11PPCPQQCQ．可以这样理解：由CPQ∽△CP1Q1，易得△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；轨迹是直线-3-④当主动点、从动点到定点的距离不相等时，=从动点运动路径从动点到定点距离主动点运动路径主动点到定点距离.典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．ABCDEFP【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．变式练习1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．POABxy【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP=60°可知：12PP与y轴夹角为60°，作OP⊥12PP，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=32．-4-P2P1yxBAOPP2P1yxBAO例题2.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．GABCDEFG2G1EDCBAFHG2G1EDCBA【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在1G位置，最终G点在2G位置（2G不一定在CD边），12GG即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥12GG的时候取到，作CH⊥12GG于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：12GG与AB夹角为60°，故12GG⊥1EG．过点E作EF⊥CH于点F，则HF=1GE=1，CF=1322CE，所以CH=52，因此CG的最小值为52．变式练习2．（2017秋•江汉区校级月考）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，△EDM为等边三角形．若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为6．【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，所以点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径为MN的长，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，-5-∴AD⊥BC，∠BAD＝30°，∵AB＝6，∴AD＝＝3，∵△EDM是等边三角形，∴AM＝AD＝3，∠DAM＝60°，∴∠NAM＝30°+60°＝90°，∵AN＝AB＝3，在Rt△NAM中，由勾股定理得：MN＝＝＝6，则M点所经历的路径长为6，故答案为：6．例题3.如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．yxNMPACBO【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为3:1，P点轨迹长ON为26，故B点轨迹长为22．-6-变式练习3．（2019•东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣5，0），点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E运动的路径长为．【解答】解：如图，连接OE．∵∠AED＝∠AOD＝90°，∴A，O，E，D四点共圆，∴∠EOC＝∠EAD＝定值，∴点E在射线OE上运动，∠EOC是定值．∵tan∠EOD＝tan∠OAB＝，∴可以假设E（﹣2m，m），当点D与C重合时，AC＝＝，∵AE＝2EC，∴EC＝＝，∴（﹣2m+5）2+m2＝，解得m＝或（舍弃），∴E（﹣，），∴点E的运动轨迹＝OE的长＝，-7-故答案为．名师点睛②当轨迹为弧线时思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？AOPQ揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，1=2QMAQPOAP．QPOAM小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．轨迹是圆-8--9-思考2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？OPQA揭秘：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．MAQPO-10-思考3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°，且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？OPQA揭秘：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．OPQMA-11-推理：（1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆.（2）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP：AQ=AO：AM=2：1的比例缩放的一个圆.总结：为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量，即：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP：AQ=AO：AM，也等于两圆半径之比，也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．60°MQAPOOPAQMOPQAOPQA-12-典题探究启迪思维探究重点例题4.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．OyxABCMP【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．答案为32OOyxABCMPOPMCBAxyO变式练习4．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．ABCMPDEFOABCMP【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题．答案为2-13-例题5.如图，正方形ABCD中，25AB，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．OABCDEF【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．答案为52-2OABCDEFMOABCDEFM变式练习5．△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．ABCDEOEDMABCOOCBAMDE【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．答案为32，本题或者直接利用托勒密定理可得最大值．-14-名师点睛③当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．典题探究启迪思维探究重点例题6.如图，在反比例函数2yx的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在