高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)(1)

第一章集合与函数概念第二章基本初等函数Ⅰ第三章函数应用数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离——华罗庚集合基本关系含义与表示基本运算列举法描述法包含相等并集交集补集图示法一、知识结构一、集合的含义与表示1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2、元素与集合的关系：或3、元素的特性：确定性、互异性、无序性RQZNN、、、、、常用数集：4（一）集合的含义(二)集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在{}内2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在{x|}内3.图示法Venn图,数轴二、集合间的基本关系1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.若集合中元素有n个，则其子集个数为真子集个数为非空真子集个数为2、集合相等：BAABBA,3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2n2n-12n-2三、集合的并集、交集、全集、补集}|{1BxAxxBA或、}|{2BxAxxBA且、}|{3AxUxxACU且、全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示AB21{1,2,},xxx例已知则0或222.2,,AyyxBxyxAB例求[0,),,[0,).ABRAB题型示例考查集合的含义2|60,|10,,.AxxxBxmxABAm例3设且求的值的集合ABAABBBA转化的思想2,3,0,1,1112,3,.23110,,23AABABAmBBBAmmmmm解：由得当时，符合题意；当m0时，1则；或-m或或考查集合之间的关系考查集合的运算.,,2,0},31{)2(.,}3,2{},3,2,1,0{},4,3,2,1,0{14BABAxxxBxxABCBCBAIAI求或已知，求）已知（例UUU5U=1,2,3,4,5,AB=2,(CA)B=4,(CA)(CB)=1,5,A.例设若求UAB1234536{|12},{|0},(1),(2),AxxBxxkABkABAk例已知集合若求的取值范围若求的取值范围返回1.设,其中,如果，求实数a的取值范围222{40},{2(1)10}AxxxBxxaxaxRABB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆扩展提升2.设全集为R，集合，（1）求：A∪B，CR(A∩B)；（数轴法）（2）若集合,满足，求实数a的取值范围。}31|{xxA}242|{xxxB}02|{axxCCCB211-，，M2.已知集合集合则M∩N是()421，，AB{1}C{1，2}DΦ，，MxxyyN2练习1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝。3.满足{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的个数有个-1B3函数定义域奇偶性图象值域单调性函数的复习主要抓住两条主线1、函数的概念及其有关性质。2、几种初等函数的具体性质。二次函数指数函数对数函数反比例函数一次函数幂函数函数函数的概念函数的基本性质函数的单调性函数的最值函数的奇偶性函数知识结构BCx1x2x3x4x5y1y2y3y4y5y6A函数的三要素：定义域，值域，对应法则A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数。一、函数的概念：思考:函数值域与集合B的关系二、映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一使函数有意义的x的取值范围。求定义域的主要依据1、分式的分母不为零.2、偶次方根的被开方数不小于零.3、零次幂的底数不为零.4、对数函数的真数大于零.5、指、对数函数的底数大于零且不为1.6、实际问题中函数的定义域（一）函数的定义域1、具体函数的定义域220.51(1)()2(2)()log(1)(3)()log(43)xfxxfxxfxx例7.求下列函数的定义域1.【-1,2）∪（2，+∞）2.（-∞，-1）∪（1，+∞）3.（3∕4,1】)12(log)3()23(22)2(121)1(20xyxxxyxxy练习：2、抽象函数的定义域1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]，求f(2x-1)的定义域2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)，求g(x)=f(x-1)-f(x+1)的定义域(2){x|})yfx2的定义域为x4,求y=f(x的定义域3)1.[1,2];2.[1,4);3.[-]22，28()lg(43)fxaxaxRa例若的定义域为求实数的取值范围。20;0.1612030.4aRaRaaRaa当时，函数的定义域为，当时，函数的定义域也为函数的定义域为，的取值范围是思考：若值域为R呢？分析：值域为R等价为真数N能取（0，+∞）每个数。当a=0时，N=3只是（0，+∞）上的一个数，不成立；当a≠0时，真数N取（0，+∞）每个数即00a求值域的一些方法：1、图像法，2、配方法，3、分离常数法，4、换元法，5单调性法。12,6x22yxx1)2)3)xey4)5273xxy)3(log3xy)2(,324)(f51xxxx）三、函数的表示法1、解析法2、列表法3、图象法)(3,4)]([)(设)3()(,2)1()2()1(,34)()1(22xfxxffxfxfxxxfxfxxxf求一次函数，且求已知求已知例10求下列函数的解析式待定系数法换元法（5）已知：对于任意实数x、y，等式恒成立，求)1(2)()(xyxxfyxf)(xf赋值法2(6)()+g()2,()().fxxfxxxxfxgx已知是偶函数，g是奇函数，且求、的解析式构造方程组法(4)已知,求的解析式221)1(xxxxf)0(x()fx配凑法增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的。三、函数单调性定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间上是增函数。区间D叫做函数的增区间。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数的减区间。写出常见函数的单调区间并指明是增区间还是减区间0,(,0),(0,)0,(,0),(0,)aa时单减区间是时单增区间是１、函数的单调区间是2、函数y=ax+b（a≠0）的单调区间是3、函数y=ax2+bx+c（a≠0）的单调区间是0,(,)0,(,)aa时单增区间是时单减区间是0,(,],[,)220,(,],[,)22bbaaabbaaa时单减区间是单增区间是时单增区间是单减区间是0ayax（）用定义证明函数单调性的步骤:(1)设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2;(2)作差，f(x1)－f(x2);(3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式(4)判号，判断f(x1)－f(x2)的符号；（5）下结论.1.函数f(x)=2x+1,(x≥1)４－x,(x＜1)则f(x)的递减区间为()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,0]B2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.11)(.11）上是增函数，在（证明：函数例xxxf3判断函数的单调性。2xxeey•拓展提升复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量•复合函数的单调性•复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。x增→g(x)增→y增:故可知y随着x的增大而增大引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。x增→g(x)减→y增:故可知y随着x的增大而增大•复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=f[g(x)]增函数增函数减函数减函数规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减”•复合函数的单调性例题：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)解设y=log4u（外函数）,u=x2－4x+3（内函数）.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为{x|x＜1或x＞3}.当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.解：设u=x2－4x+3，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＜2(u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＞2(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.代数解法：解:设y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.由于y=log13u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-(x－1)2+1在x≤1时单调增.由0＜x＜2（复合函数定义域）x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由x＜2，(复合函数定义域)x≥1，(u减)解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原复合函数的单调增区间.例2求下列复合函数的单调区间：y=log(2x－x2)例题：求函数的单调性。23221)(xxxf解：设，f(u)和u(x)的定义域均为R因为，u在上递减，在上递增。而在R上是减函数。所以，在上是增函数。在上是减函数。232xxuuuf)21()(23,,23uuf)21()(23221)(xxxf23,,23例4：求的单调区间.1223.0xxy解:设由u∈R,u=x2－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.因为在定义域R