九年级数学相似同步练习

《相似》（时间90分钟，满分120分）一、填空题（每小题3分，共30分）1、如图1，在△ABC中，AB：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为。2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的。3、图2中，x=。2224、在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线l，ABCDE图11（）30°45°x30°）（105°图2使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有条。5、已知M是线段AB延长线上的一点，且AM：BM=7：3，那么AM：AB=。6、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该学生的眼部高度为1.5m，那么旗杆的高为。7、已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是和。8、如图3，已知在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，四边形EFDH为内接正方形，则AE：AB=。9、如果点C是线段AB靠近B的黄金分割点，且AC=2，那么AB=。10、如图4，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为ABCDFEH图3cm2。二、选择题(每小题4分，共40分)11、如图5，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸上的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（）A、FB、GC、HD、KABCFED图4·ABCCKHGFDE12、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A、1：2B、1：4C、2：1D、4：113、（2006年天津）如图6，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）A、4对B、5对C、6对D、7对14、已知4a=5b=6c，且a-b+c=10，则a+b-c的值为（）ABCDEGHF图6A、6B、5C、4D、315、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则较大的五边形面积是（）cm2。A、44.8B、52C、54D、4216、如图7所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果已知物体AB=30，则CD的长应是（）A、15B、30C、20D、1017、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一地块的三角形的面积之比是（）A、25：1B、5：1C、1：25D、1：518、如图8，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，ABCDO图71236且∠APD=60°，BP=1，CD=32，则△ABC的边长是（）A、3B、4C、5D、619、一个钢筋三角架三边长分别为20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）种A、一B、二C、三D、四20、如图9，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于（）A、16225B、15256C、17256D、16289三、解答题（每小题7分，共35分）ABCDP）60°图8ABECFD图921、（1）若ba=dc，判断代数式cdabca22-22dbcdab+1值的符号（2）若cba=acb=bac，求abcaccbba))()((的值。22、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长。23、如图10，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD等于2m的标杆，现测量者从E处可以看到标杆顶点C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高。24、如11图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF∽△EADABCDEF图10△△ABCDEF图11（2）若AB=4，SABCD=3316，求AE的长（3）在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）25、如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE（2）设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式四、拓广探索题（共15分）26、（7分）已知，如图13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明AB1+CD1=EF1成立，若将图13中的垂直改为斜交，如图14，AB∥CD，AB与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则ABCDE图12ABCDEF图13（1）AB1+CD1=EF1还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由。（2）请找出S△ABC，S△BED和S△BDC间的关系，并给出证明。27、（8分）若矩形的一个短边与长边的比值为215，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形（1）操作：请你在如图15所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）ABCDEF图14ABCD图15一、填空题1～10841247：4305，20311+530提示：4、如图1，过D分别作BC、AB的平分线有两条，另外，作∠ADE=∠ABC又一条，作∠CDF=∠ABC又一条，共4条8、ABAE=BCEH=DCFDBFEH=EHEH3=319、∵ABAC=ACBC=2BC，又∵ABAC=215∴2BC=215∴BC=5-1∴AB=2+5-1=1+5ABCDEF图110、如题图：EF=DE=8-3=5∵EC=3，∴FC=4，易证△ABF∽△EFC∴BF：3=8：4BF=6∴S阴影=21·6·8+21·4·3=30二、选择题11～20CACACDAABC提示：18、∵△ABC为等边三角形∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC，∴△APB∽△PCD∴32：1=（AB-1）：AB∴AB=320、∵AE2+EF2=42+32=52=AF2∴∠AEF=90°，∴易证△ABE∽△EFC∴AB：EC=4：3设AB=xx：（x-216x）=4：3∴x2=17256三、解答题21、解：（1）设ba=dc=k，则a=bk，c=dk，代入，得，求值式=kdkbkdkb222222-2222dbkdkb+1=k-k+1=1＞0，故所求式的符号为正（2）当a+b+c≠0时，因为abc≠0，所以由等比性质得：cbacba)(2=cba=acb=bac所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，代入得，求式=abcbac222=8当a+b+c=0，a+b=--c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式=abcbac))((=-122、解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′=20：15：9：8设A′B′=20x，B′C′=15x，C′D′=9x，D′A′=8x，由四边形A′B′C′D′的周长为26，得20x+15x+9x+8x=26，解得x=21∴A′B′=10，B′C′=7.5，C′D′=4.5，D′A′=423、解：如图2，过E作EN⊥AB，交AB于N点交CD于M点，由题意知，MN=BD=20，EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，则CM=0.2由CM∥AN，得△ECM∽△EAN∴CM：AN=EM：EN∴AN=CMENEM=1.2∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3所以树高为3m24、证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAF=∠AED∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D=∠BFA∴△ABF∽△EAD（2）解：∵SABCD=3316，∴AB·BE=3316，∵AB=4∴BE=334∴AE2=AB2+BE2=42+（334）2AE=338（3）解：由（1）有EAAB=ADBF，又AD=3，∴BF=EAADAB=4×3×383=23325、（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°∴∠ADB+∠DAB=135°，∵∠ADE=45°，∴∠ADB+∠EDC=135ABCDEF图2△△MN°∴∠DAB=∠EDC，∴△ABD∽△DCE(2)解：∵△ABD∽△DCE，∴CDAB=CEBD∴AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=2，CD=2-x，∴x21=CEx∴CE=2x-x2∴AE=AC-CE=1-（2x-x2）=x2-2x+1即y=x2-2x+1（0＜x＜2）四、拓广探索题26、（1）解：成立，证明如下由AB∥EF∥CD得，ABEF=DBDF，CDEF=DBBF两式相加，得ABEF+CDEF=DBDF+DBBF=DBBFDF=DBDB=1∴EF·CD+EF·AB=AB·CD，两边同除以AB·CD·EF得AB1+CD1=EF1（2）解：BDAS1+BDCS1=BDES1证明如下：作AG⊥BD于G，EH⊥BD于H，CK⊥BD交BD延长线于k，由平行线性质得：AGEH=DADE=DBDF，CKEH=BCBE=BDBF所以AGEH+CKEH=1，∴AGBD211+CKBD211=EHBD211∴ABDS1+BDCS1=BDES127、解（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图4所示（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由ABCD为黄金矩形，得ab=215∴BEBC=bab=ab÷（1+ab）=215÷（1+215）=253≠215∴矩形EBCF不是黄金矩形矩形E′BCF′是黄金矩形证明：如图4，∵BCBE'=bba=（1-ab）÷ab=（1-215）÷215=215ABGEFHDCK图3ABCDEFF’E’图4∴E′BCF′是黄金矩形（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形。