16定积分的计算

§2-3定积分的计算设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx变上限的定积分如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，一、变上限的定积分、原函数存在定理3cos2xtdt(2)1例、求下列积分31sin22xt01xtedt（）0xte1sin(6)sin22x01xxeee1sin6sin22xabxyo)(xx()yfx定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa原函数存在定理()()()xaxftdtfx即是的原函数02()cos()xxtdt(2)已知，求。21201xtxdttt(3)，求。221()1xxtdt（）222()(1)1xxtdtx解：0220()(cos)(cos)xxxtdttdt解：例2、求下列变限定积分的导数22()cos(1)12201xxxx解：，则02cosx定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.例3求，20cosxdtdtdx20txdedtdx220coscosxdtdtxdx22200xttxxddedtedtedxdx如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.定理：)()()(aFbFdxxfba()baFx记为：一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题，即不定积分问题。牛顿——莱布尼兹公式二、微积分基本定理——牛顿—莱布尼兹公式例4求下列定积分2311.xedx32113xe631133ee631()3ee402.xdx342023x322(40)31631213.dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例5计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.2例6求下列定积分1351(4)xedxx、1315dxx134xedx135ln||x134xe34()5ln3ee例1求1lnexdxx解11lnexdxx1lnlnexdx1,ln10,ln1xuxeue则时时10udu原式1lnexdxx三、定积分的第一换元积分法——换元必须换限法1：换元1222011110222u2211lnln122e211ln2ex原式法2：不换元lnux设，例2求41xedxx41xedxx解411xedxx412xedx412xe41222eeee例3求32211cosdxxx解3211cosdxxx32211cosdxxx3211cosdxx321sinx11sinsin320214xxedx例x102xe212xe214xe00222111124xxxxedxxee四、定积分的分部积分法0221110(1)424eee21344e例5求积分10sin3xxdx解10sin3xxdx1011cos3sin339xxxx10sin3x1cos33x1sin39x111cos3sin30sin039911cos3sin339例6求积分1lnexxdx解xlnx211ln2exx212x1x21112exdxx2111lnln122eeexdx1lnexxdx222111112444eexe§4广义积分1、无穷限广义积分的定义（1）我们把变上限积分的极限()lim()xaaxfxdxftdtlim()xaxftdt称为函数f(x)在无穷区间[a，+∞）上的无穷限广义积分，记作当极限存在时，称广义积分收敛，否则称积分发散。()()()aafxdxftdt()afxdxxt（2）对于广义积分，只需令()aftdt()aftdt(),fxdxa（3）对于广义积分，不妨设常数，()()()aafxdxfxdxfxdx311lim()33xx111limlim(1)xxxtx211xdx（）21limxxtdt解：原式发散例1、判断下列广义积分的敛散性211limxxdtt解：原式(01)1积分收敛211(2)dxx311lim3xxt1limlnlim(lnln1)xxxtx11limxxdtt解：原式积分发散11(3)dxx211lim()22xxe204xedx（）20limxtxedt解：原式积分发散201lim2xtxe0limlim(1)xtxxxee0limxtxedt解：原式1积分收敛0(5)xedx2、无穷限广义积分的几个重要类型11(0)padxpx（）当p≤1时，广义积分发散。当p1时，广义积分收敛，(0)paxdxp积分注：发散。4211dxx（）41,p解：收敛例2、判断广义积分的敛散性1131dxx解：原式311(2)dxx31(3)xdx解：11,3p积分发散积分发散121xdx解：原式1(4)xdx积分发散02,naxxedxn（）为自然数当a0时，广义积分收敛当a≥0时，广义积分发散201xedx（）解：积分收敛例3、判断广义积分的敛散性解：积分收敛30(2)xxedx解：积分发散40(3)xedx204xedx（）解：积分收敛§5定积分的几何应用xyo()yfxabxyo()ygx()yfxab曲边梯形的面积badxxfA)(该图形的面积[()()]baAfxgxdx一、平面图形的面积例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(dxxxA)(21010333223xx.312xy2yx解两曲线的交点(0,0),(8,16)262yxxyx2468-55101520252yx26yxx例2计算由两条抛物线26yxx和直线2yx所围成的图形的面积.820(26)Axxxdx832043xx1853xyodc()xyyxcd)(yx)(yxdcdyyyAyydcdycyyxyx)]()([))()(,(,),(),(图形面积为围成的平面及直线由曲线曲边梯形的面积()dcAydy例3：求由曲线，以及直线围成平面图形的面积。1xy,3yxyxyo1yxyx3y解两曲线的交点(1,1)1xyyx31所求面积311()Aydyy3211ln2yy4ln3.例4计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy2102(2)Axxdx1218.AAAxy224xy1A2A8222(4)Axxdx383163xy224xy24242yAydy18.求平面图形面积的步骤：1、画出由各曲线围成的平面图形，并求出曲线的交点；2、选择适当的积分变量，并确定积分区间；3、写出该平面图形面积的定积分表达式；4、求出定积分的值即为所求面积。另解xy224xy24242yAydy18.求平面图形面积的步骤：1、画出由各曲线围成的平面图形，并求出曲线的交点；2、选择适当的积分变量，并确定积分区间；3、写出该平面图形面积的定积分表达式；4、求出定积分的值即为所求面积。另解