武汉理工大学2004年高等数学(上)试卷及标准答案

武汉理工大学考试试题纸（A卷）课程名称高等数学（上）专业班级2004级工科专业题号一二三四五六七八九十总分题分15151414211110100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1.设0,sin0,1)(xxxexfx，则（）A.)(lim0xfx不存在B.)(lim0xfx存在，但()fx在0x处不连续c.()fx在0x处连续，但不可导D.()fx在0x处可导.2．已知函数()fx在0x的某个邻域内连续，且(0)0f，0()lim21cosxfxx，则（）A．(0)f存在，且(0)0fB.(0)f不存在c.)(xf在0x处取得极小值D.)(xf在0x处取得极大值.3．设20()ln(1)xfxtdt，3()gxx，则当x0时，()fx是()gx的()A．等价无穷小B.同阶但非等价无穷小c.高阶无穷小D.低阶无穷小.4.曲线1yxx在开区间(1,)内()A．单调减少且凹B.单调增加且凹c.单调减少且凸D.单调增加且凸.5.曲线32sinyx与x轴、y轴及直线2x围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是()A.32B.23c.2D.3.二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1.设1arctan1xyx，则dy.2.设()ln(1)fxx，则()(0)nf=3.()sinfxx设的一个原函数是，则2()1sinfxdxx=.4.定积分1231(cos5)xxxdx=.5.弹簧在拉升过程中，需要的力F与伸长量s成正比，即(Fksk是比例系数）.如果把弹簧由原长拉伸4个单位，不计单位，计算所作的功W.三．求下列极限（本题共2小题，每小题7分，共14分）1．011lim(cot)xxxx2．21ln(1)0lim(cos)xxx四．计算下列导数（本题共2小题，每小题7分，共14分）1．已知sin10yexy，求0xdydx2．设(sin)(1cos)xattyat，求22dydx.五．计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，共21分）1.2ln(2)xdxx.2.32211dxxx.3．111xxdxee.六．解答题（本题11分）设直线(01)yaxa与曲线2yx围成的平面图形的面积为1S，该直线与曲线2yx及直线1x围成的平面图形的面积为2S.问当a取何值时，12SS取得最小值，最小值是多少？七．证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1.证明：当0x时，21ln(1)2xxx.2.设函数()()fxgx与都在[0,1]上连续，证明:至少存在一点(0,1)，使得10()()()()gfxdxfgxdx.武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸|课程名称：高等数学（上）（A卷）|一、单项选择题（每题3分，共15分）1.D;2.C;3.C;4.B;5.B.|二、填空题（每题3分，共15分）|1.21dxx；2.1(1)(1)!nn；3.arctan(sin)xc4.2；5.8k.|三、计算极限（每题7分，共14分）|1.2300tantanlimlimtanxxxxxxxxx原式------------------------------------3分222200sec1tan1limlim333xxxxxx---------------------------------------------------7分2.2200lncoslncosexp{lim}exp{lim}ln(1)xxxxxx原式--------------------------------------3分120sincosexp{lim}2xxxex---------------------------------------------------------------7分|四、计算导数（每题7分，共14分）|1.解原方程两边对x求导，得：sincos0yydydyexexdxdx--------4分|解得：cossin1yydyexdxex-----------------------------5分|当0x时，1y；故0xdyedx------------------------------------7分2.解sinsin(cot)(1cos)1cos2dyatttdxatt----------------------------------------------3分22222cos(1cos)sin1(1cos)(1cos)(1cos)tttdytdxatat------------------------------------7分五、计算下列积分（每题7分，共21分）|1.解1ln2xdx原式---------------------------------------------2分ln2(2)xdxxxx-----------------------------------------4分ln1[]222xdxdxxxx------------------------------------5分ln1ln222xxcxx--------------------------------------7分|2.解23322seccostantansecsintdttdtxtttt44原式-------------------------4分341232sin3t-------------------------------------7分3.解11211()xxedxe原式------------------------------------------4分11arctan4xe-----------------------------------------7分|六、应用题(本题11分)|解（1）122120()()aaSSSaxxdxxaxdx-----------------------4分3111323aa---------------------------------------------6分（2）212022dSaada由，得（负值舍去）----------------------9分222222220aadSada又所以当22a时，S取极小值，而驻点唯一，故所以当22a时，S取最小值，最小值为226---11分七、证明题（每题5分，共10分）1.证明设21()ln(1)2fxxxx------------------------------------2分21()10,011xfxxxxx---------------------------3分(0)0f又，0()(0)0xfxf则当时，----------------4分故当0x时，21ln(1)2xxx-------------------------------5分2.证明设10()()()xxFxftdtgtdt--------------------------------------2分显然在[0,1]上连续，在(0,1)内可导又(0)(1)0FF------------------------------------------------3分由罗尔定理知，(0,1)，使()0F--------------------------4分而10()()()()()xxFxgxftdtfxgtdt所以10()()()()gfxdxfgxdx.-----------------------------5分