武汉理工大学2011年线性代数试题及答案

A卷1…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………姓名学号专业班级学院武汉理工大学考试试卷（A卷）2010~2011学年2学期线性代数课程闭卷时间120分钟，40学时，学分，总分100分，占总评成绩%年月日题号一二三四五六七八九十合计满分151528151512100得分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa=3，D1=333231312322212113121111252525aaaaaaaaaaaa，则D1的值为（）A．-15B．-6C．6D．152．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）A．000000111B．000110111C．000222111D．3332221113．设2阶阵2A，则1*1A（）A．A211B．A21C．21AD．121A4.已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，12,αα是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（）A．)()(212121121αααββCCB．)()(212121121αααββCCC．)()(212121121ββαββCCD．)()(212121121ββαββCC5．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A．E-AB．-E-AC．2E-AD．-2E-A得分A卷2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.行列式332313322212312111bababababababababa=____________.2.设矩阵A=963852741，P=010100001，则101100APP=.3.设A为4阶方阵且2A，则*12)3(AA____________.4.已知向量组2111a，1212a,113ta的秩为2，则数t=______________.5.已知=0为矩阵A=222222220的2重特征值，则A的另一特征值为______________.三、计算题（本大题共4小题，共28分）1.计算行列式D=1111000000332211aaaaaa的值.2.已知矩阵0A伴随阵210011101*A，且ABAB2，求矩阵B.3.设向量组TTTTaaaa)14,7,0,3(,)0,2,1,1(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.4.已知矩阵2010340baA的特征值为1,1,2，求参变量ba,；问A是否和对角阵相似？四、（本题15分）已知线性方程组23213213211aaxxxaxaxxxxax（1）讨论a为何值时，方程组有唯一解、无穷多个解或无解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系）.得分得分A卷3五.（本题15分）设矩阵A=2101，（1）求矩阵A的特征值与对应的特征向量；（2）计算1001kA（k为整数）六、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）1.设矩阵CBA,,满足ABC，证明)()(ARCR.2.设矩阵),,(321A，其中21,线性无关且0321，证明线性方程组1Ax的通解为：111112c（c为任意常量）A卷4…………装订线………………装订线内不要答题，不要填写信息………………装订线…………武汉理工大学考试试题答案（A卷）2010~2011学年2学期线性代数课程一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.c2.b3.d4.a5.d二、填空题（每小题3分，共15分）1.02.6935824713.4432114.t=-25.4三、计算题（本大题共4小题，共28分）1.计算行列式D=1111000000332211aaaaaa=4111000000032211aaaaa……(5分)=3214aaa……(7分)2.计算得1*A，所以EAA*，即AABAABA***2……(2分)EBAB2*1*)(2AEB……(4分)100010001110001100),(*EAE~001100010100110001~001101010100010001B=2001101010……(7分)3.14024721201313101A~2420141030303101……(3分)~0000010010103001~0400040010103101……(5分)所以R(A)=3，321,,是最大无关组2143……(7分)A卷54.根据题意2*1*1201034021123baa所以1,1ba……(3分)求201034011A特征值2重根1对应的特征向量……(5分)解方程组0101024012321xxx得唯一线性无关解021所以A不能与对角阵相似……(7分)四、（本题15分）aaaA1111112)1)(2(111111aaaaaA……(3分)当12aa且时0A方程组有唯一解……(5分)当2a时方程组增广阵为421211121112~632330330121为矛盾方程，方程组无解……(7分)当1a时方程组增广阵为111111111111方程有无穷多解。……(9分)原方程组有一个特解001*对应齐次方程组的基础解系为101,011，所以原方程组的通解为10101100121cc……(15分)A卷6五.（本题15分）（1）)2)(1(2101)(Af2,121为特征值……(3分)当11解方程组0)(xEA1100EA的基础解系111p为对应特征向量……(5分)当22解方程组0)(xEA0101EA的基础解系102p为对应特征向量……(7分)(2)有（1）得kkkkAA20102101111……(10分)所以kkkkAA21110211101101……(12分)kkkkkkAAAA2210110,011001……(15分)六、证明题（每小题6分，共12分）1.证明：由题意ABC则矩阵方程CAX有解……(3分)根据矩阵方程解的理论)()()(CRCARAR……(6分)2.由于132113213212112),,(112A所以112是1Ax的一个特解，同样可以验证111是对应齐次方程组0Ax的解……(3分)再根据题意2)(AR,3)(AR所以2)(AR，可得3元方程组0),,(321x基础解系中只有一个解其通解为c111所以线性方程组1Ax的通解为：111112c（c为任意常量）……(6分)