武汉理工大学高等数学A(下)2008年考试题

武汉理工大学考试试题（A卷）课程名称：高等数学A（下）专业班级：2007级理工科专业题号一二三四五六七总分题分151524161686100备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。一、单项选择题（35=15分）1.曲面1xyz在点（1，1，1）处的切平面方程为（）A．03zyx,B．03zyx,C．01zyx,D．01zyx。2.设)2,3,(xa，)4,,1(yb，若ba//，则有（）A．3,1yx，B．6,21yx，C．7,1yx，D．6,21yx。3.yxyyx)sin(lim)0,1(),(（）.A．1，B．-1，C．0，D．不存在。4.设)(uf为连续函数，区域yyxyxD2),(22，则Ddxdyxyf)(（）A．111122)(xxdyxyfdx，B．20202)(2yydxxyfdy，C．0sin202)cossin(drrfd，D．0sin202)cossin(rdrrfd。5.级数)0()cos1()1(1anann的收敛情况是（）．A．发散，B．收敛性与a有关，C．绝对收敛，D．条件收敛。二、填空题（35=15分）1.函设)arctan()1(),(2xyyxyxf，则)1,1('xf。2.由方程2222zyxxyz所确定的函数),(yxzz在点)1,0,1(处的全微分dz=_.3.设)(xf满足收敛定理的条件，其傅立叶级数的和函数为)(xS，已知)(xf在0x处左连续，且2)0(,1)0(Sf，则)(lim0xfx。4.函数)ln(22yxz在点(1,1)处沿方向)1,1(l的方向导数lz=_.5.设L为圆周122yx，则dsyxL22。三．计算题（38=24分）1．设),(xyxfz具有二阶连续偏导数，求22xz。2．计算DdxdyyxxyI2211，其中D：0,122yyx。3．交换积分次序，然后计算10sinxxdyyydxI四．计算题（28=16分）1．计算LxdyyxydxyxxeI)sin()(2222，其中L是从点A（a，0）沿上半圆222ayx)0(a到点B（a，0）的弧段.2．计算曲面积分dxdyzzdzdxydydzxI)2(222其中为锥面222yxz介于平面0z及1z之间的部分的下侧。五．计算题（28=16分）1．将xxf31)(展开成)2(x的幂级数，并指出收敛域2．已知曲线积分Lxdyxfydxexfxf)(]4)(6)([与路径无关，且1)0(,0)0(ff，求函数).(xf六．（8分）欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的长宽高的尺寸七．（6分）设幂级数0nnnxa在),(内收敛，其和函数)(xy满足微分方程042yyxy，且1)0(,0)0(yy。（1）证明：),2,1,0(122nanann（2）求和函数)(xy的表达式。07级高数A(下)(A卷)参考答案(2008年7月)一、ADBDC二、2；dydx2；5；2；2。三、1、解：''121ffyxz，分4''''2''1221211222ffyfyxz分82、解：DdxdyyxI2211分4rdrrd0102112ln2分83、解：10101021sin1sinsinsinyyydyyydydxdyyyI四、1、解：加边0:yBA，x从a到a，分4记L与BA围成的区域为D，由格林公式：DaaxdxxedyxI2)(22=44a分82．解：设1为1z)1(22yx的上侧，分21I1dvzyxI)1(2dxdyxyD)1(=dvzdv22分6=6532232210zDdxdyzdz分8五、1、解：521151)(xxf=0)2(5)1(51nnnnx=01)2(5)1(nnnnx分6由152x可得收敛域为73x。分82、解：由曲线积分与路径无关得：xexfxfxf4)(6)()(，分3其特征方程为062rr，2,321rr。对应的齐次方程的通解为：xxeCeC2231。分6特解的形式为xaexf)(，代入原方程得：1a，即xexf)(原方程的通解为xxxeeCeCxf2231)(。由1)0(,0)0(ff得53,5221CC。故xxxeeexf235352)(。分8六、解：设长、宽、高分别为zyx,,米，由题意求xyzV在条件36223yzxzxy下的最大值。作函数：)36223(yzxzxyxyzL分4令0362230)(2023023'''yzxzxyyxxyLzxxzLzyyzLzyx解之得：3,2zyx驻点是唯一的，由实际问题本身可知最大值一定存在，所以当长宽高分别为2米，2米，3米时，容积最大（为12立方米）。分8七、解：（1）设11'0)(,)(nnnnnnxnaxyxaxy，0222'')2)(1()1()(nnnnnnxannxannxy代入微分方程得002)42()2)(1(nnnnnnxanxann，比较系数得：nnanann)42()2)(1(2，即nnana122分3（2）由0)0(y可得00a，再由1)0('y得11a，由nnana122，经计算归纳可得：!1,0122naann，于是202012!)(!)(xnnnnxenxxnxxy。分6