武汉理工大学whut08高数A(下)试卷及解答

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武汉理工大学考试试题(A卷)课程名称:高等数学A(下)专业班级:2008级理工科专业题号一二三四五六七总分题分1520161616107100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)应按顺序答在答题纸上。一、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1.函数(,)zfxy有0000(,),(,)xyfxyfxy存在,则有().A.000000(,)(,)(,)xyxydzfxydxfxydyB.0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxyC.0000(,)(,)lim(,)(,)xxyxyfxyfxyD.00(,)fxy存在2.L是平面上单连通区域G内的光滑曲线,(,),(,)PxyQxy在G内有一阶连续的偏导数,则(,)(,)LPxydxQxydy与路径无关的充要条件是().A.PQyxB.PQxyC.0PQxyD.0PQyx3.若D=222(,)xyxyR,则二重积分D+xydxdy的值是:().A.0B.πC.2πD3π4.下列级数中发散的级数是().A.1111nnnB.21sinnnnC.1(1)nnnD.31-2+2nnnn5.用待定系数法求微分方程2sin2yyxx的特解时,y的形式可设为().A.()sin2()cos2axbxxcxdxxB.()sin2()cos2axbxcxdxC.()sin2axbxxD.()sin2axbx.二、填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)1.函数22Uxxyz在点(1,2,1)处的梯度gradU=.2.L是xoy平面上的曲线:221xy;设ds是曲线长的微元,则曲线积分的计算结果2221Ldsxyz=.3.将二次积分2011(,)xdxfxydy交换积分次序是=.4.函数()fx以2为周期,在(,上0()00xxfxx,将函数()fx展开成周期为2的傅立叶级数,其和函数为()Sx,则(3)S=.5.微分方程212yyxx在条件=10xy下的特解为=y.三、计算题(本题共2小题,每小题8分,满分16分)1.设函数(,)zzxy由方程,zfxyyz所确定,期中f具有连续的正值偏导数,求dz.2.求微分方程24xyyyxe的通解。四、计算题(本题共2小题,每小题8分,满分16分)1.计算密度为的均匀锥面∑:2201zxyz,;对oz轴的转动惯量。2.求幂级数=1(1)nnnx的收敛域及和函数,并求数项级数=12nnn的和。五、计算题(本题共2小题,每小题8分,满分16分)1.用格林公式计算(sin5)(cos5)xxLeyydxeydy,其中L是从点(2,0)沿椭圆22149xy至点(0,3)的小弧段。2.用高斯公式计算252(1)xzdydzyzdzdxzdxdy,其中是曲面22zxy与1z围成的空间立体的表面外侧。六、应用题(10分)研究并求出空间曲线222:1zxyxy上的点到xoy坐标平面的最长、最短的距离。七、证明题(本题满分7分)设函数()Fxyz,,有一阶连续的偏导数,且(111)=0F,,。证明在空间曲面()0Fxyz:,,上过点A(1,1,1)的任意一条在A点切线存在的曲线,在A点处的切向量都与一个定向量垂直。试卷解答:一、D、D、A、A、B.二、1.(4,1,-2);2.2;3.100(,)ydyfxydx;4.2;5.3yxx.三、1.1122211fffdzdxdyff2.特征根121,2rr。对应齐次方程的通解:212xxycece。设非齐次方程的解为:()xyaxbe代入方程得到:a=2,b=1.原方程得通解是:212(21)xxxycecexe。四、1.对z轴的转动惯量为22()zIxydS=22221()2xyxydxdy=21300222drdr2.收敛域:(0,2)令x-1=t,则111()(1)nnnnnnTtntntt,而1111nntt,211(1)1(1)nnntt,2()(1)tTtt。和函数21()(1)(0,2)(2)xSxTxxx13()222nnnS。五、1.加有向线段BO、OA。其中B(0,3)、O(0,0)、A(2,0),设曲线L+BO+OA所包围的平面区域为D。原式=(sin5)(cos5)xxLBOOAeyydxeydy-(sin5)(cos5)xxBOeyydxeydy-(sin5)(cos5)xxOAeyydxeydy=30155(cos5)sin3152Ddxdyydy。2.原式=1203zdVzdz六、法一:由于0z,设22(2)(1)Lzzxyxy令:224020102010xyzLxLyLLzxyLxy解得唯一点:122(,,)333根据问题的几何特征最大距离是+∞,最小距离是(2/3)法二:过曲线平行于y轴的投影柱面是:2321zxx,开口向z正半轴的抛物柱面,原问题可以转化成,求xoz平面上的投影曲线到x轴的最大、最小距离。最大距离是+∞。最小距离就是函数2321zxx的最小值。2321zxx,62zx令62zx=0解得:13x。曲线上点122(,,)333到xoy平面的距离最小,最小距离是(2/3)。七、设曲面上过A点的任意一条曲线为L:()()()xxtyytzzt,A点对应的参变量0tt;则有:((),(),())0Fxtytzt,且()()()()()(()0xyzAFxtFytFzt。即:000(1,1,1)()(1,1,1)()(1,1,1)()0xyzFxtFytFzt。由L的任意性可证结论成立。

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