从力做的功到向量的数量积课件

§5从力做的功到向量的数量积物理中我们学过功的概念，一个物体在力的作用下产生位移（如图）θFrsrFrsr力所做的功W可用下式计算:其中θ是与的夹角.FrFrsrWFscos,rr当0°≤θ＜90°时，W＞0,即力F做正功；当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）ab两个非零向量和，作，，则（）叫作向量与的夹角．aabbOAaOBbAOB0180OABab思考1如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.探究点1向量的数量积OAB若，与同向bbaa0OAB若，与反向bbaa180OABba若，与垂直，记作b90aab由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规定:零向量可与任一向量垂直.，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OA,aOBb1OBcos,b||cosθ叫作向量在方向上的射影(也叫投影)．abb当θ为锐角时，||cosθ_____0b＞思考2什么是向量的射影？OABabB1OBA当θ=0°时，||cosθ=_____abb||b当θ为钝角时，||cosθ___0.b当θ为直角时，||cosθ____0b＜=BOA1Bba1BθOAB)(1Bba1()BθOBAab当θ=180°时，||cosθ=_____bB1物理实例中，与位移方向一致的分力的长度为︱︱cosθ，即是力在方向上的射影.θ-||bFrsrsr1FurFr2FurFr1Fursr思考3平面向量的数量积的定义如何？已知两个向量与，它们的夹角为θ，我们把||||cosθ叫作与的数量积（或内积）.记作··=||||cosθ注意：向量的数量积是一个数量.特别地:零向量与任一向量的数量积为0.abbababababa⑵已知=(1,1),=(2,0),与的夹角θ=45°.求·.abab例1⑴已知||=3，||=4，且与的夹角θ=150°，求·.ababab解：·=||||cosθ=3×4×cos150°=3×4×（-）=－6abab323..解：||=,||=2,θ=45°,所以·=||||cosθ=×2×cos45°=2.ababab22ab思考4数量积的几何意义是什么？coscos与的数量积等于的长度与在方向上射影的乘积，或的长度与在方向上射影的乘积.abaababbbaba||cosbabBAOcosabababbacosabba特别提醒：1.2.若是单位向量,则2aaa1212coscoseeee12,ee单位向量是一种特殊的向量哟！重要性质：1.若是单位向量，则：2.3.4.5.当且仅当∥时等号成立.ecos.eaaea0.abab.aaacos(0).ababab.abababs个产计物体在力F的作用下生位移,那么力F所做的功W可用如一公式果算:FS||||cosWFsFscosF思考5数量积的物理意义是什么？,,设向量和实数，则向量的数量积满足下列运算律：abc(1);abba(2)()()();ababab(3)().abcabac反之成立吗？acbcab若，有吗？解答：不成立.解答：成立.思考：探究点2向量的数量积的运算律练习：判断下列说法的正误√×××××√3．若≠，·=0，则=abab0.02．若≠，则对任一非零向量,有·≠0．abab01．若=，则对任一向量，有·=0．abab04．若·=0，则,中至少有一个为．0abab5．若≠，·=·，则=0cabab.ca6．若·=·,且≠,当且仅当=时成立．ccababa07．对任意向量有a2.aaa例2在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a²=b²+c²–2bccosA，b²=c²+a²–2cacosB，c²=a²+b²–2abcosC.AacbCB证明：设则AB,BC,AC,cab222BCBCBCaa(AC-AB)(AC-AB)()()bcbc2bbccbc222cosbcbcA同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.=b²+c²–2bccosA.向量法证明几何问题的步骤：1.将三角形的边用有向线段表示.2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.例3证明菱形的两条对角线互相垂直.AC=AD+AB,BD=AD-ABACBD=(AD+AB)(AD-AB)22(AD)-(AB)22=AD-AB证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于可得ACBD.=0，所以，即菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO证明线段垂直的方法：1.取两个不共线的向量作基底.2.将要证明的向量用这两个向量表示.3.利用进行证明.0abab【提升总结】例4已知单位向量,的夹角为60°，求向量,的夹角.12aee212bee1e2e解：由单位向量,的夹角为60°，得1e2e121cos60,2ee所以3.ab②1112222eeeeee1321.22①1221()(2)abeeee所以又222212112223,aeeeeee22222111222443,beeeeee设与的夹角为，由①②可得ab312cos.233abab又所以.即向量与的夹角为.0,23ab23技巧点拨：1.以，为基底,计算的值.2.利用向量的夹角公式计算.1e2e12ee1.判断下列说法的正误:（1）平面向量的数量积可以比较大小.()（2）()（3）已知为非零向量,因为0×=，·=0,所以=()(4)().abcabc0,.若则与的夹角为钝角ababba0aba0.√×××2.△ABC中，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】由知∠ABC为锐角；由知,∠ACB为钝角.ABBC0BCAC0，，ABBC0BCAC0C3.在△ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=_______.-16-24.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则a·b=_______.120||4,||2,||;|34|.abababab5.已知与的夹角为，求：解：222221||()24242()2223.ababaabb222|34|(34)(3)2(3)(4)(4)19162442()164419.2ababaabb本节课主要学习了：1.向量的夹角.2.向量的射影.3.向量的数量积.4.向量的数量积的几何意义和物理意义.5.向量的数量积的性质和运算律.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的.——贝尔奈