浅谈数形结合思想在数学解题中的应用

浅谈数形结合思想在数学解题中的应用学生姓名：之花127一、引言从古至今，数学渗透在我们生活的方方面面.原始时代,人们为了计数,也会用图形表示一定的事物；随着时代的进步,科技的进步,数学的发展也逐步上升了一个层次,随即也就产生了各种各样的数学思想.而纵观整个数学体系我们可以发现数形结合思想是重要的一种数学工具和概念之一,它贯穿我们整个数学学习当中,尤其以中学表现更为明显.所谓数形结合,简单来说就是将数学中的数字与图形巧妙结合起来,既避免了单纯数字的枯燥与乏味,也可以从一些图形中反映出数字之间的关系,这样可以使一些数学问题变得清晰,简明,很容易被掌握,起到了事半功倍的作用.如今，数形结合的思想越来越受到老师同学们的重视,它可以解决中学中的函数、方程、集合、几何、数列、概率等很多问题,使其变的让学生容易接受；同时它也渗透在大学的知识中,比如说数学分析中求函数极值、在复变函数中表示复数等等。这些都充分体现了数形结合思想发挥着不可估量的作用.二、数形结合的基本知识（一）数形结合思想的内涵1.数形结合整体理解“”“”“”当我们看到数形结合这个词语时，不免会将其分解：数、形与结合.对于“”“”数和形这两个词,每个人都非常清楚,它是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象.“”数简单地来说是数字,但这里我们可抽象地表示为函数、方程、不等式、数列等等.“形”则指的是各种图形,而这种图形不是随便产生的,它是由所对应的“数”得到的.这自然也就引出了“结合”的涵义,即把“”“”相应的数与对应的形巧妙地融为一体，形成一一对应的关系.“”“”数可以转化为形,“”形反过来可以解释“数”.也就是数量关系与空间形式是紧密相连的.这也正应证了我国著名的数学家华罗庚在自己撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中说到的一句话“数与形,本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离”[1].从华罗庚老师的这首小词中我们就可以形象生动地体会到数形结合的作用了.虽然人们广泛应用这一思想,但关于数形结合的定义,不同学术专家有着不同的解释,而对于学生来说,张同君先生解释的最好理解.他认为：“在问题解决中，数形结合就是将数量关系的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合，调用代数和几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的”[2].简而言之数形结合思想就是把数学中“数”“”和数学中形巧妙结合起来解决一些数学问题的一种数学思想。也可以说就是将抽象、复杂、枯燥的数学语言与“”直观、简单、易懂的图形结合起来，通过数与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.2.数形结合的分类直观来说,数形结合包括三个方面：“”“”以形辅数；“”“”以数释形；“”“”数形结合.(1)以“形”辅“数”由于我们在做题过程中,不免会遇到一些比较抽象,难以下手的问题,光用眼睛观察似乎看不出什么,但这时如果我们能把对应的关系用直观、明了的图形表示,再通过对图形的分析、推理最终解决我们所要解决的数量问题,这样就会简单很多.(2)以“数”释“形”虽然图形有形象、直观的优点,但在表示一定的定量关系时又显得不是那么明显了.尤其是遇到一些比较复杂的图形时,更需要观察图形的特点,借助代数的计算发掘题目中的隐含条件,“”“”把形正确地表示成数的形式,最终达到解题的目的.(3)“数”“形”结合数学中非常重视转换的思想,而“数”“形”结合正是体现了这一点.当遇到问题时要先分析已知条件和所求结论,从两个方面同时出发,看“”“数想形”,“”看形思“”数结合起来,就可将问题简单化,各种问题也迎刃而解.（二）数形结合思想的历史演进“数”与“形”是数学研究最基本的两个方面.数的产生主要来源于古代的计数,是对特定具体事物的计数.而在产生数之后,用来表示这些数的主要工具就是各种图形.所以说,“数”产生于各种各样“形”的计数,而“数”又借助“形”来记录表示,这可以说是数形结合思想最原始的表现.发展到宋朝时,数学家们采用把几何问题代数化数化的思想方法,用代数巧妙地描述了几何图形的特征,使几何关系转换成代数关系.在17世纪,法国数学家笛卡尔通过建立坐标再一次“”“”将数与形结合在一起,创立了解析几何学,使问题变得直观、简洁.直到现在,数形结合思想仍运用于各个领域,就比如说在大学学习的高等代数和数学分析中,“”“”也离不开数与形的结合.例如：解决线性代数的问题就是根的个数判断方程借助几何中的线性空间；在数学分析中求函数的极大、极小值时,直接观察函数是很难算出来的,这时就要借助图像,在图像上就可以直观地看出在一个小范围内的最高点和最低点,这样就可以很容易地解决问题.从这些事例就可以看出,数形结合的思想从数的产生开始就被人们使用,从古到今一直被我们广泛应用着,而且应用于我们生活的方方面面,可见数形结合思想的重要性.（三）数形结合思想的优越性1.简洁性遇到一些繁琐的问题时如果可以将其转换成图形,那么就可以直观地观察出想要的结果,接着再转化成代数的符号便可以轻松解决问题.2.突破性在我们做方程求根的题目时,当遇到次数较低的方程可以用公式求解,但遇到次数较高或者是指数形式的方程时,比如说求方程23121xxx的根的个数时,直接算是不可能的,也没有具体的计算公式,因此更数不出根的个数.在这种情况下，我们可以突破传统解方程的思想,转换利用图形的观点来解决.例123121xxx的.分析：因为题目中出现了指数形式3x,若要通过方程的思想直接求解来确定根的个数显然会变得非常复杂,甚至很难求出.对于此题,只要求求出根的个数,显然没必要得出根的具体值,所以我们可以突破方程的思想用图形来思考.即把等号两端的两个式子看做两个函数,在一个坐标系中画出两个图像后,图像交点的横坐标即是方程的根,那么图像上有几个交点便是有几个根.1如图可以看出,两个函数图像交于一个点,说明方程的根有一个.这样就把一个复杂的方程求根的个数问题巧妙地用数形结合的思想解决.图1xyO-4-3-2-11234-4-3-2-11234yxxxy31最大值、最小值取值范围三、  数形结合思想在解题中的应用（一）数形结合思想在代数中的应用在代数中,数形结合思想在很多方面得到体现.比如说在解决一些复数、函数、数列、方程、不等式等问题时，数形结合思想就起到了很重要的作用,使很多抽象、 繁琐的问题瞬间直观化、简单化.1.解决复数问题我们已经了解到了复数的两重几何含义：一是每一个复数都对应平面上的一个点；另一个是每一个复数都对应于平面上从原点出发的一个向量.从这些含义我们可以清晰看出要理解一个复数,从解析几何的角度来看最为清晰,这一点也正体现了数形结合的思想.例2已知zC∈,z11,求2z的.分析：从代数的角度求其最大、最小值是不可能的,这时不防利用复数的几何含义来分析.由复数模的意义可以看出,11z表示的图形是以1,0点为圆心,1为半径的圆的边界及内部,而2z表示平面上满足上述条件的点与点2,0的距离.2我们由图可以看出OA长度最短,为2；AB长度最长,为4.也就是得出2z的最大值为4,最小值为2.例3已知zC∈,331zi,求1zi的.分析：由上一例题的启示，这道题仍然需要利用复数的几何意义来解决.图2BxyO-1123-11-222-2A-33图3BAxyO1-1C取值范围331zi表示的是以点3,3为圆心,1为半径的圆周上的点,求1zi最大、最小值就是求这些圆周上的点到点1,1的距离的最大、最小值.从图形上可以直观看出（图3）,距离最短为AC,长为()()2231311221；距离最长为AB,长为221,所以1zi的取值范围为zi2211221.2．解决集合运算问题例4已知集合,Axyyx,集合,Bxyyxc,且要求AB，求c的.分析：若要利用代数的方法,即24yxyxc没有解,化简后为222240xcxc且需满足yx,这样便可解出c的范围.但通过这种方法计算量比较大,很容易出错,往往是事倍功半.而通过数形结合的方法会显得容易很多.我们可以在同一直角坐标系下画出两个函数的图像,而交集为空集表示的就是两个函数没有公共交点,从而通过移动函数yxc便可判断c的范围.4如图可知c的范围为c22或c2.例5 已知集合,MyybyR,,NyyayR,若要求MN,求a,b所满足的条件.分析：首先我们可以将集合进行去绝对值的化简,得：,MybybyR,,NyyayayR或,这时要使MN有两种情况,如图5需满足ba22或ab22,化简得：ab4,即,ab所满足的条件.-22-2图4xyO图5NMa2b2b2NMa2b2b2．解决函数定义域、值域、奇偶性、单调性、有界性、周期性、最值问题3 数形结合思想在解决函数问题时起到了举足轻重的作用,可以说解决任何一个函数问题都需要借助函数图象,这样使得函数的一些性质更直观地表现出来,将问题简单化.比如说判断一些函数的奇偶性,如果用代数方法还得计算,而我们画出函数图像时却很直观,只要关于原点对称的便为奇函数,关于轴对称即为偶函数；同样判断函数周期性时,只要画出图像便可判断函数是否为周期函数,其周期是多少；在求函数最值问题时,若用代数方法就得通过各种变形来判断在何处取最值,而如果我们采用数形结合的思想,将其转换为图像,便可以清晰看出图像最高点和最低点,从而也就求出了函数的最大值与最小值.例6若函数()gx的定义域为,cd且满足cd0,又有cd,求函数()()()hxgxgx的定义域.分析：要求()hx的定义域,不妨设其定义域为A,同理设()gx与()gx的定义域为B,C,由题目知,集合A、B、C满足ABC.这时就把函数求定义域的问题转化成集合运算的问题,34而由例、例我们可以看出此时用数形结合的方法解决问题再合适不过了.我们可以画出数轴,由已知条件画出集合A、B取其公共部分便可（图6）.解:设()hx的定义域为A,()gx与()gx的定义域为B,C()gx的定义域为,cd,cxd若要使()gx有意义,则有cxd,即dxc又cd,dc又cd,cd,cdBxcxd,CxdxcAxcxdxdxc由题意及图6可知：Axcxc将题中的大小关系用数轴表示很直观,很容易就找出交集,而如果直接比较c、图6ddcc0xyO-10-8-6-4-2246810-4-224图8c、d、d的大小,由于关系比较多,很容易求错交集,可见数形结合的重要性.例7求复合函数yxx的值域.解：令yu（u0）,()uxxx由图可知7u0；再由图可知8：当u0时,y即yyxx的值域为,遇到复合函数时第一步应该将其分解（对于此题是两个函数的复合,所以将其分解成两个函数）,第二步要画出两个函数的图像,观察内函数的值域与外函数的定义域,求其交集.第三步根据外函数的图像看出在交集范围内的函数取值即为复合函数的值域.在这中间,二、三步都用到了数形结合的思想,比如说求()ux的值域时,用代数的方法则要判断当x取何值时函数值最大,这样就需要取不同的x值来说明,既麻烦错误率又高,而直接通过图像则很直观地看到函数的范围,方便又准确.例8已知函数()fx是偶函数,且在(,)内是单调减函数，又()f,求()xfx的解集.分析：看题目并不能确定函数()fx,显然很难判断()xfx的解集,这时不妨想到数形结合思想,利用图像来解决.首