刚体的平面运动

本章以刚体平动和定轴转动为基础，应用运动分解和合成的方法，研究工程中一种常见而又比较复杂的运动—刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。第九章刚体的平面运动§9-5运动学综合应用结论与讨论§9-1刚体平面运动的概述和运动分解§9-2求平面图形内各点速度的基点法§9-4用基点法求平面图形内各点的加速度§9-3求平面图形内各点速度的瞬心法一、问题的提出回顾：刚体的简单运动—平动和定轴转动请观察以下刚体的运动：火车车轮机械臂§9-1刚体平面运动的概述和运动分解连杆动齿轮刚体平面运动的定义：在运动过程中,刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变.即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．刚体平面运动实例二、刚体平面运动的运动方程1.刚体平面运动模型的简化ⅠⅡSA1A2M●过刚体作平面Ⅱ平行平面Ⅰ平面Ⅱ与刚体相交截出一个平面图形S；●平面图形S始终保持在平面Ⅱ内运动；●在S面内任选一点M，过M做平面Ⅱ垂线。yxoS刚体平面运动平面图形S在其自身平面内的运动●A1MA2做平动M点可代表直线A1MA2上各点的运动结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。2.运动方程yxoAB运动模型-平面图形平面图形上的任意直线运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动.为了确定图形在任意瞬时的位置，只须确定图形内任一条直线的位置。基点确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA,yA,)。3个独立变量随时间变化的函数：)()()(321tftfytfxAA(xA,yA)三、刚体平面运动的分解刚体的平面运动可以分解平移和定轴转动.yxoAB当角不变时，则刚体作平动．当Ａ点不动时，则刚体作定轴转动•绝对运动：•牵连运动：•相对运动：ABⅠyxoABⅡBxyxy设在Δt时间间隔内，平面图形由位置Ⅰ运动到位置Ⅱ。刚体平面运动跟随基点的平移平面图形相对于平移系的转动刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法：选择基点(任意选择)；在基点上建立平移系(特殊的动系)；按照合成运动理论分解.车轮的平面运动随同O的平移运动绕O1的转动+ABⅠABⅡBA●平移和转动与基点之间的关系BBAABAvvBAaadtdwatttttwddlimlim00结论：平面图形的平面运动可取任意的基点分解为平动和转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关；而平面图形的角速度和角加速度与基点的选择无关。一点注意所谓绕基点的转动，实际上是指相对于一个坐标原点铰接于基点的平动参考系的转动，故w和α是相对角速度和相对角加速度。当注意到动参考系作平动时，可见，w和α又是绝对角速度和绝对角加速度。这正是把w和α分别称为平面图形的角速度和平面图形的角加速度的原因。速度、加速度对点而言，角速度、角加速度对图形或刚体而言。例题1已知：曲柄－滑块机构中OA=r,AB=l;曲柄OA以等角速度w绕O轴转动。求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。OABPxy解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量与时间的关系)sinarcsin(sintcosAltrtryrxAwww连杆的平面运动方程为2、连杆上P点的运动方程xPyPtlllrytlrltrxPP)()sin(1cos121vr=vBA§9-2求平面图形内各点速度的基点法y´x´ABvByxOSvAvBAvA定系：Oxy基点：A平移系：Ax´y´平面图形：S平面图形的角速度：w基点速度：vAB点速度：vB速度合成定理：va=ve+vrva=vBve=vAvB=vA+vBA一、基点法结论：平面图形上任意点的速度，等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。BAABvvvABvBAw方向与半径AB垂直，指向与角速度w的转向一致•前述方法称为基点法或叫作速度合成法•通常对于平面图形内的任意两点A和BBAABvvv注意：vBA≠vAB例题2在图中，杆AB长l，滑倒时B端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。ABψuOABψuO解：解法一：选A点为基点研究B点BAABvvvvAvBvBA其中vA=u,tanuvB,sinuvBAωABwsin1lulvBAAB所以(逆时针)解法二：选B点为基点，研究A点ABBAvvv,tanuvB,sinuvABwsin1lulvABAB所以(逆时针)大小方向?√√√√？vAvBvBA其中vA=u大小方向√√√？√？例题3曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l，曲柄以匀角速度w0转动，当OA与水平线的夹角a=45时，OA正好与AB垂直。求（1）滑块的速度vB（2）连杆AB的角速度wAB。（3）连杆AB中点C的速度。BOw0A解：选择A为基点，研究B点运动BAABvvv滑块的速度：awacoscos0rvvABawatantan0lrlvAlvBAABw连杆的瞬时角速度vAvBAvBavA其中：vA=rw0大小方向?√√√√？wABBOw0AvAvBAvBavAvCAvCvAC再求连杆AB中点C的速度vC仍选A为基点2tan2520202022CAACAACvvrrrvvv大小方向??√√√√wAB其中：vCA=rwAB/2二、速度投影法ABvAvAvBAwvB将速度vB向线段AB投影(vB)AB=(vA+vBA)AB因为(vBA)AB=0所以(vB)AB=(vA)AB速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。ABAB)()(ABvv上面的定理正好说明刚体上任意两点间的距离保持不变。所以定理适应于刚体作其它任意的运动。例题4在图中，杆AB长l，滑倒时B端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。ABψuO解：由速度投影定理cossinABvv速度投影定理无法求解角速度！vB一、问题的提出如何解释这种现象？离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。§9-3求平面图形内各点速度的瞬心法若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题的计算会大大简化，同时也能求出图形的角速度。基点法速度投影法BAABvvvABAABBvvSAvwAvBAvBvA优点：既能求速度，也能求w。缺点:计算比较繁琐。优点：计算简便，快捷。缺点:无法求出图形的角速度w。A为基点B)(wABvBA只要,任一瞬时平面图形上都唯一存在一个速度等于零的点。0wS二、速度瞬心的概念AAvAvMAvLL证明:（1）过点A作直线。ALLvMAAMvvv且当点M在AL上时，其速度大小可表示为选A为基点，则上任一点M的速度LLMAAMvvvwAMvA因此，在AL上必唯一存在一点P，其速度为零。M定理SAAvwAvMAvMLwPwAvAP0wAPvvAP某一瞬时平面图形上速度等于零的点,称为图形在该瞬时的瞬时速度中心,简称速度瞬心.唯一性：瞬时性：在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心.在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心.（2）过点A的其它直线上的点,因和不共线,故速度均不为零。AvMAv定义SAAvwAvMAvLLMSAAvwAvMAvMLPS三、平面图形上各点的速度w方向：wBPvBP选取速度瞬心P为基点，则平面图形上任一点B的速度BBvAC由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。BPPBvvv大小：BP,指向与w转向相一致。——速度瞬心法AvCv形绕速度瞬心转动的速度。等于该点随图BPv?SPw过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何特点？就速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时的速度瞬心作瞬时转动.—与图形绕定轴转动时的速度分布类似.[思考]S四、速度瞬心位置的确定1.已知平面图形上一点A的速度和图形角速度。Avw速度瞬心P：过点A作的垂线，Av并取wAvPAAvBvP速度瞬心P：Av过A、B两点分别作速度、的垂线，两垂线之交点。BvABSAAvwP2.已知平面图形上任意两点A、B的速度方向。wAvS3.已知平面图形沿固定面作无滑动的滚动（纯滚动）。速度瞬心P：平面图形与固定面的接触点。PABOw[例题]曲柄—滑块机构解：Av已知:曲柄OA以匀角速度w转动。，。rAB3rOA求:当=60º时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。BvP曲柄OA作定轴转动,滑块B作平移,连杆AB作平面运动。研究连杆AB：过A、B两点分别作速度、的垂线，两垂线之交点即为连杆AB的速度瞬心P。AvBv（1）速度瞬心可以位于平面图形之上，也可以位于平面图形边界之外（延长部分上）。ABABBABBPvwwcoswr332)([讨论]：wtgABvAPvAAAB（）ABwABAAPrvww——滑块B的速度333wwrrABOwAvBvP该瞬时，连杆AB的速度瞬心P在无穷远处，ABwOBv研究连杆AB：（2）当=90º时，滑块B的速度及连杆AB的角速度为多少？AvP？0ABwMAAMvvv选A为基点，则连杆AB上任一点M的速度Av该瞬时AB上各点的速度相等。可见，该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作平移时的一样。MMv各点加速度是否相等?故图形在该瞬时的运动称为瞬时平移。SAAvBvB确定速度瞬心位置第2种方法之特例：特例1两垂线平行。SAAvBBv速度瞬心P在无穷远处，。0w特例2两垂线共线。SPwPSAAvBvBP?此时图形作瞬时平移。若两点的速度大小相等，则速度瞬心又在哪里？OOv[例题]沿直线轨道作纯滚动的车轮求:轮缘上点A、B、C、D的速度。已知:车轮半径为R，轮心O点的速度为。Ov解：车轮作平面运动。)(P车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。0PAvv车轮的角速度为RvOw（）wBvDvCv,2OBvv,2OCvv（1）更加体会到速度瞬心法的计算简便；各点的速度方向如图所示。通过此例ODvv2ABCD（2）直观了解了车轮上各点的速度分布。现在，你能解释这种现象了吗？离车轮与地面的接触处近的钢丝看得较清楚，而离得远的钢丝则模糊不清，甚至看不见。P五、小结与讨论基点法速度投影法速度瞬心法速度瞬心的概念速度瞬心位置的确定图形上各点的速度分布例题5已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。求：圆轮的角速度。Ow0ABCarabRvAvBvCEwC解：对机构进行运动分析0wrvvBAAB杆作瞬时平动由速度投影定理得cossinCBvvwtantan0rvvBC圆轮瞬心在E点wwtan0RrRvCC例题6如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是ω1，杆O2B的角速度是ω2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角；又O2B=b，O1A=b。试求在这瞬时C点的速度。303O1AO2BCω1ω230xyO1AO2BCω1ω230xy解：bAOvA1113wwbBOvB222wwvAvB以A点为基点分析C点的速度CAACvvv另外，又以B作为基点分析C点的速度CBBCvvv比较以上两式，有CBBCAAvvvvvAvCAvC（1）（2）vCBvB大小方向??√√√?大小方向??√√√?上式投影到x轴得30cosCBAvvCBBCAAvvvvbvvACB1230cosw方向如图所以O1AO2BCω1ω230xyvAvBvAvCAvCvCBvB222121222460co