双曲线基础练习题(老师版)

双曲线基础练习题1．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率45e的双曲线为(A)(A)191622yx(B)1251622yx(C)116922yx(D)1162522yx2.与椭圆125＋1622yx有共同焦点，且过点)10,2(P的双曲线是(A)(A)14522xy(B)14522yx(C)13522xy(D)13522xy3．设双曲线122myx的离心率e＞2，则实数m的取值范围是(B)(A)(0，3)(B)(3，＋∞)(C)(0，1)(D)(1，＋∞)4．若方程11222mymx表示双曲线，则m的取值范围为(C)(A)m＞－1(B)m＞－2(C)m＞－1，或m＜－2(D)－2＜m＜15．若椭圆12222nymx(m＞n＞0)与双曲线12222byax(a＞0，b＞0)有相同焦点F1，F2，设P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为(C)(A)m－a(B))(21am(C)m2－a2(D)am6．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是(A)A．－1B．1C．－1020D.102解析化双曲线的方程为x21m－y23m＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m－1m＝4，即－4m＝4，∴m＝－1.7．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(B)A．(－∞，0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)解析由题意a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，∴e2＝c2a2＝4－k4.又∵e∈(1,2)，∴14－k44，解得－12k0.8．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为(B)A．(1,3)B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.又∵ca，∴ac≤3a，∴1ca≤3，即1e≤3.9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(C)A．(1，5)B．(1，5)∪(5，＋∞)C．(5，＋∞D．[5，＋∞)[解析]用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率ba2时，才能保证y＝2x与双曲线有公共点，∴c2－a2a24，即c2a25.∴ca5.10．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是(D)A.65B.125C.32D．3解析注意到直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有1＋1625x21＝412.可得x21＝254，取x1＝52，y1＝－2.∴a2＝254－4＝94，|a|＝32.11．如果x2|k|－2＋y21－k＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是(A)A．(1，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(1,2)[解析]方程化为：y2k－1－x2|k|－2＝1，∴k－10，|k|－20.∴k2.又c＝k－1＋(k－2)＝2k－31，故选A.12．已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（D）A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x[解析]由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴椭圆焦点(3m2－5n2，0)，双曲线焦点(2m2＋3n2，0)．∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.∴m2＝8n2.又∵双曲线渐近线为y＝±6·|n|2|m|·x，∴代入m2＝8n2，|m|＝22|n|，得y＝±34x.13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(B)A.45B.53C．2D.73[解析]由题意|PF1|－|PF2|＝2a，即3|PF2|＝2a，∴|PF2|＝23a，设P(x0，y)，则x00，∴23a＝ex0－a，∴e＝5a3x0.∵|x0|≥a，∴ax0≤1.∴e＝53·ax0≤53.故选B.14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是(D)A.x23－y24＝1B.x24－y23＝1C.x25－y22＝1D.x22－y25＝1[解析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，依题意c＝7，∴方程可化为x2a2－y27－a2＝1，由x2a2－y27－a2＝1，y＝x－1，得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2a27－2a2.∵x2＋x22＝－23，∴－a27－2a2＝－23，解得a2＝2.故所求双曲线方程为x22－y25＝1.15．设点F1、F2为双曲线C：16x2－9y2＝144的两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝__90°__．16．已知点F、A分别为双曲线Cx2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则双曲线的离心率为___1＋52_____．[解析]由已知F(－c,0)，A(a,0)，∴FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)，∴由FB→·AB→＝0得－ac＋b2＝0，即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，解得e＝1＋52(另一根舍去)．17．若双曲线经过点)3，6(，且渐近线方程是xy31，求双曲线的方程．答案：若双曲线的焦点在x轴上，因为渐近线方程是xy31，∴)0(,192222kkykx又双曲线经过点)3,6(，所以223936kk＝1，解得k2＝1，,此时，双曲线为1922yx；若双曲线的焦点在y轴上，因为渐近线方程是xy31，所以，设所求方程为192222kxky，又双曲线经过点)3,6(，所以1936322kk，此方程无解．综上，所求的双曲线为1922yx．18．设F1，F2为双曲线1169:22xyC的两个焦点，点M为双曲线上一点，且∠F1MF2＝60°，求△MF1F2的面积．答案：由题意，双曲线的实半轴a＝3，虚半轴b＝4，因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos60°，即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|·|F2M|，①又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|＝36，②由①②，得|F1M|·|F2M|＝64，所以，△MF1F2的面积为31623642160sin||||212121MFMFSMFF.19．以双曲线1:2222byaxC(a＞0，b＞0)的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C的共轭双曲线．(1)写出双曲线15422yx的共轭双曲线的方程；(2)设双曲线C与其共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，求证1112221ee．答案：(1)双曲线15422yx的共轭双曲线的方程为14522xy；(2)在双曲线C中，半焦距22bac，所以离心率abaace221；双曲线C共轭双曲线方程为)0,0(12222baaxby，其半焦距为22ba，所以离心率bbae222.所以，1112222222221babbaaee.20．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2.求双曲线的方程．[解析]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝ca＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|，又S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin60°＝123，∴|PF1|·|PF2|＝48，∴3c2＝48，c2＝16得a2＝4，b2＝12.所求双曲线方程为x24－y212＝1.