武汉理工大学-高数A上-2007级-A卷及答案

武汉理工大学高数A上2007级A卷及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（1）设111,0()11,0xxexfxex，则0x是()fx的（）。A．连续点；B．可去间断点；C．跳跃间断点；D．无穷间断点。（2）设()fx在0x处连续，则下列命题错误的是（）。A.若0()limxfxx存在，则(0)0f；B、若0()()limxfxfxx存在，则(0)0fC、若0()limxfxx存在，则)0(f存在；D、若0()()limxfxfxx存在，则0)0(f。（3）设当0x时，2(1cos)ln(1)xx是比sin()(nxxn是正整数）高阶的无穷小，而sin()nxx是比21xe高阶的无穷小，则n等于（）。A、1；B、2；C、3；D、4（4）设()fx在(,)内可导，周期为4，且0(1)(1)lim12xffxx，则曲线()yfx在点(5,(5))f处的切线的斜率为（）。A、1/2；B、-2；C、0；D、-1（5）设32()2912fxxxxa恰有两个不同的零点，则a为（）。A、8；B、6；C、4；D、2。二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（1）设21lim()1aaxtxxtedtx，则a；（2）设()fx具有任意阶导数，且2)]([)(xfxf，n为大于2的整数，则()()nfx=；（3）曲线xyxe的拐点坐标为；（4）121(1sin)xxxdx=；（5）已知()fx的一个原函数为2lnx，则dxxfx)(=。三、计算下列极限（本题共2小题，每小题7分，共14分）（1）2211lim(1)nnnn；（2）2220020()limxtxxtedttedt四、计算下列导数或微分（本题共2小题，每小题7分，共14分）（1）设2ln(1)arctanxtyt，求22,dydydxdx；（2）设2ln(1)xxyee，求dy。五、求解下列各题（本题共4小题，每小题7分，共28分）（1）lntansincosxdxxx；（2）设0sin()xtfxdtt，求0()fxdx；（3）设20()ln2()2xtfxfdt，求()fx；（4）求微分方程12xyydxdy的通解。六、应用题（本题7分）设抛物线2yaxbxc通过坐标原点，且01,0xy，试确定a、b、c的值，使该抛物线与直线1,0xy所围成的面积为4/9，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。七、证明题（本题7分）设()fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0,(1)1ff。证明：（1）至少存在一点(0,1)，使()1f；（2）存在与相异的两个不同的点,(0,1)，使1)()(ff。武汉理工大学2007级理工类各专业高等数学A（上）试题（A卷）答案及评分标准一、（1）C（2）D（3）B（4）B（5）C二、（1）1；（2）1![()]nnfx；（3）22(2,)e;（4）2；（5）22lnlnxxC三、（1）解原式=)]111ln(2limexp[2nnnn-------(3分)=])1(2limexp[2nnnn-------(5分)=2e-------(7分)（2）解原式=2222002limxxtxxxedtee-------(3分)=2222022limxxxxexee-------(5分)=2-------(7分)四、（1）解22111122dytdxttt-------(4分)2222231111()2224dyddtttdxdttdxttt-------(7分)（2）解)]1[ln(2xxeeddyxxdee211-------(4分)dxeexx21-------(7分)五、（1）解原式=xxddxxxxtanlntanlncostantanln2-------(4分)=cx2)tan(ln21-------(7分)（2）解dxxxxxxfdxxf000sin)()(-------(3分)=dxxxxdxxx00sinsin-------(5分)2sin0xdx-------(7分)（3）解两边求导得：)(2)(xfxfxcexf2)(-------(4分)(0)ln2fln2c-------(6分)2()ln2xfxe-------(7分)（4）解方程变形为：211yxydydx-------(3分)]1[121cdyeyexdyydyy-------(5分)]21[2cyy-------(7分)六、解依题意：0c，又120489()3296abbAaxbxdxa(1)而221220()()523aabbVaxbxdx-------(4分)将（1）代入有2(64246)180Vbb令'12(2)0180Vb，得2b，此时53a因''015V，所以当2b时，V最小。故当5,2,03abc时抛物线2523yxx满足要求。-------(7分)七、解(1）令()()1gxfxx，则()gx在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10gg，由零点定理，(0,1)，使()0g，即()1f-------(4分)（2）()fx在]1.[],,0[上分别使用拉格朗日中值定理有(0,)，使'()1()ff(,1)，使'(1)()()11fff故''()()1ff-------(7分)