数形结合解简单的线性规划

年级学科版本通用版课程标题数形结合解简单的线性规划编稿老师一校二校审核一、线性规划的有关概念(1)把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数．(2)目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件．(3)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数．(4)如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件．(5)在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(6)满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．(7)使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．二、解答线性规划的应用问题的一般步骤:(1)设:设出所求的未知数;(2)列:列出约束条件及目标函数;(3)画:画出可行域;(4)移:将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数最值;(5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解,求出最值.三、求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解;(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.例题1已知变量x、y满足的约束条件为,则目标函数z=3x+y的最大值为()(A)10.(B)12.(C)14.(D)15.分析；先作出线性约束条件的可行域,然后确定最优解,求出目标函数的最大值.解析；作出线性约束条件的可行域,如图所示,得最优解为(3,1),故z的最大值为maxz=3×3+1=10.24250xxyxy答案(A)例题2在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()(A)．－5(B)．1(C)．2(D)．3分析；含字母参数的规划问题，可以a考虑大于零或小于零的情况下，把a看成待定数求解。解析；设a0，平面区域如图：面积S＝12(a＋1)×1＝2，得a＝3.当a＝－5时，显然不合题意．答案；(D)【归纳拓展】(1)以上主要考查线性规划问题.准确画出可行域,尽量将图形作准确,借助图形找出目标函数的最优解的位置极为重要,是解题的关键.(2)在选用线性规划知识求解最优解的实际应用问题时,应首先依据实际数据利用已给的限制条件得到约束条件,将实际问题转化为数学问题;其次注意变量的范围,变量范围既要满足数学问题的限制条件,也要符合实际意义.1．设实数x，y满足x－y－2≤0x＋2y－5≥0y－2≤0，则u＝yx的取值范围是()(A)．[13，2](B)．[13，12](C)．[12，2](D)．[2，52][解析]在坐标平面上点(x，y)所表示的区域如图所示，令t＝yx，根据几何意义，t的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然kOA最小，kOB最大，∵点A(3,1)，点B(1,2)，故13≤t≤2.易错点；不能很好的理解目标函数的几何意义，把u＝yx习惯的看成一条直线。1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()(A)．(－∞，1)(B)．(1，＋∞)(C)．(－1，＋∞)(D)．(0,1)2．不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()(A).32(B).23(C).43(D).343．设变量x，y满足约束条件y≤xx＋y≥2y≥3x－6，则目标函数z＝2x＋y的最小值为()(A)．2(B)．3(C)．5(D)．74．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()(A)．95(B)．91(C)．88(D)．755．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()(A)．12万元(B)．20万元(C)．25万元(D)．27万元6，已知变量x，y满足约束条件x＋4y－13≥02y－x＋1≥0x＋y－4≤0，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝()(A)．－2(B)．－1(C)．1(D)．4**7．当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是()(A)．(－∞，－1]∪[1，＋∞)(B)．[－1,1](C)．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(D)．(－1,1)8已知x、y满足不等式组y≥xx＋y≤2x≥a，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝()(A)．0(B).13(C).23(D)．19．设变量x，y满足约束条件x－y≥0x＋y≤1x＋2y≥1，则目标函数z＝2x＋y的最大值为________．10．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船3811．已知M、N是不等式组x≥1，y≥1x－y＋1≥0x＋y≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．12．若由不等式组x≤my＋nx－3y≥0y≥0(n0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.答案；1.[答案]B[解析]∵点O(0,0)使x－2y＋40成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋40，∴t1.1.[答案](C)[解析]平面区域如图．解x＋3y＝43x＋y＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83.∴ABCS＝12×83×1＝43.3.[答案](B)[解析]在坐标系中画出约束条件y≤xx＋y≥2y≥3x－6所表示的可行域为图中△ABC，其中A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z＝2x＋y在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.4.[答案](B)[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．5.[答案](D)[解析]设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，由题意得3x＋y≤132x＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，由3x＋y＝132x＋3y＝18，解得A(3,4)．∵－3－53－23，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，max＝27.6.[答案](C)[解析]由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分．当z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，故m＝1.7.[答案](B)[解析]由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]．8[答案](B)[解析]依题意可知A1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．由x＝ay＝x得A(aa,)，由x＋y＝2x＝y得B(1,1)，∴maxz＝3，zmin＝3a.∴a＝13.9．[答案]2[解析]可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x＋y＝z经过可行域内的点A(1,0)时，z取最大值，maxz＝2.10．[答案]116[解析]设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域如图，∵－53－32，∴当直线z＝12x＋8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，y∈N，∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.11[答案]17[解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为17.12．[答案]－33[解析]根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，∴OA为外接圆的直径，∴直线x＝my＋n与x－3y＝0垂直，∴1m×13＝－1，即m＝－33.