武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案

1武汉理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B》期末试卷（B卷）考生姓名：班级：学号：一、选择题（本题共6小题,每小题4分，满分24分）1、二元函数),(yxf在点),(00yx处两个偏导数都存在，是),(yxf在该点可微的（）．（A）充分而非必要条件（B）既非充分又非必要条件（C）充分必要条件（D）必要而非充分条件2、设),(yxf是连续函数，则00(,)(0)axIdxfxydya=（）．（A）00(,)aydyfxydx（B）0(,)aaydyfxydx（C）0(,)ayadyfxydx（D）00(,)aadyfxydx3、下列级数条件收敛的是（）．（A）nnn1)1(1（B）211)1(nnn（C）1)1(1nnnn（D）)1(1)1(1nnnn4、若级数1nnu收敛，则下列级数中（）收敛。（A）)001.0(1nnu（B）1nnu（C）11000nnu（D）11000nnu5、以12cos,sinyxyx为特解的二阶线性齐次微分方程是（）（A）''0yy（B）'''0yy（C）''0yy（D）'''0yy6、设222:),(ayxyxD，则当a（）时，Ddxdyyxa2222（A）1（B）2（C）33（D）323二、填空题（本题共5小题,每小题4分，满分20分）1、设sinxyze，则dz。2、设(,):01,1Dxyxxy，则Dydxdye2。题号一二三四五总分1234512得分评卷人23、曲线族xexccy221)(中满足条件0010,'2xxyy的曲线是．4、微分方程xeyyyxcos422的特解形式设为y*=。5、已知级数22116nn，则级数211(21)nn的和等于。三计算题（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、设23323,,zzzxyxyxxy求。2、判别级数21(0)1nnnaaa的敛散性。3．求微分方程xyyy234'5''的通解。4、求幂级数11nnnx的收敛域及和函数。5、计算积分)66(),06(),00(cos，，，为以点，其中BAODdxdyxxD为顶点的三角形区域。四、应用题（本题共2小题,每小题8分，满分16分）1、1、用钢板做一个容积为a的长方体箱子，问长、宽、高为多少时，用料最少。2、利用二重积分的几何意义计算球面9222zyx与旋转锥面2228zyx之间包含z轴的部分的体积。五、证明题（本题满分5分）设常数0，级数21nna收敛，证明：级数21nnan绝对收敛。一．DBACCD二．1、sincos()xyexyydxxdy2、11(1)2e3、212xxe4、)cossin(xbxaxeyx5、28三．1..6,33222yyxzyxxz2.解：当1a时，原级数为112n发散--------------------------1分当01a时，21nnnaaa------------------------------2分而1nna为公比小于1的等比级数，故收敛由正项级数的比较判别法，211nnnaa收敛--------4分3当1a时，2211nnnnnaaaaa又1a时，级数11nna收敛由正项级数的比较判别法，211nnnaa收敛------------------------------------5分当1a时，级数211nnnaa发散，当01aa且时，级数211nnnaa收敛---------7分3．对应的齐次方程的特征方程为0452rr，……--------------2分特征根为4,1rr-----------------------（3分）对应的齐次方程的通解为xxececy421………(4分)，特解为xy21811………(5分)，原方程的通解为yxececxx21811421………(7分)4.解：11limlim1nnnnanan，1R收敛半径-------------------------------2分当1x时级数11nnn（1）发散，所以收敛域为（-1,1）。---------------------3分设11(),(1,1)nnsxnxx-------（*）两边从0到x积分得：11000111()1xxxnnnnnnxstdtntdtntdtxx------------6分两边对x求导得21()(0),(1,1)(1)sxsxx，且由（*）式知，(0)0s21(),(1,1)(1)sxxx--------------------------------------------------------7分5.dyxxdxdxdyxxxD060coscos…………………….4分=60cosxdx…………………………5分=1/2…………………………………..7分四、1.解：设长方体的长、宽、高分别为zyx,,，则长方体的体积为Vxyza，表面积为2()Sxyyzzx，问题即求2()Sxyyzzx在xyza之下的极值，------------------------------2分令(,,,)2()()Fxyzxyyzzxxyza，-----------------------------------------3分4由''3''2()02()02()00xyzFyzyzFxzxzxyzaFxyxyFxyza----------------------------6分即长方体的长、宽、高都是3a时，表面积最小。-----------------------------------------7分2、解：222222918xyzzxyz所求立体在xoy面上的投影区域为：22:8Dxy----------2分由二重积分的几何意义所求立体的体积为22222(9)8DxyVxyd----------------------------------5分用极坐标计算得22220022(9)4Vdrrrdr---------------------------------------7分24------------------------------------------------------------------------------------8分五、证明：因为级数21nna和211nn收敛，则由222()2nnaann可知级数21nnan收敛，即21nnan绝对收敛。--------------------------5分