武汉理工大学-高数下2010期中试题与答案

武汉理工大学考试试题纸（期中卷）课程名称高等数学A（下）专业班级：2010级各专业题号一二三四五六七八九十总分题分备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（5×3=15分）1．下列方程中，属于锥面方程的是（）。A．1ZYXB．1222ZYXC．022ZYXD．0222ZYX2．函数0,0,,00,0,,)(242yxyxyxyxxf，则),(yxf在点0,0处（）。A．连续且偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在3．设xyez，则dz等于（）A．zB．dxexyC．)(ydyxdxexyD．)(xdyydxexy4．若),(yxf在关于y轴对称的有界闭区域D上连续，且),,(),(yxfyxf则二重积分Ddxdyyxf),(的值等于（）。A．D的面积B．0C．Ddxdyyxf),(2D．),(yxf5.微分方程xxyyy2e2'的特解*y的形式可设为（）.A．xax2e,B．xbax2e)(,C．xxbax2e)(,D．xax22e.二、填空题（5×3=15分）1．设函数22arcsin)1(2),(yxyxyxf，则)1,(xfx。2．若函数yxyaxxyxf22),(22在点（1，—1）取得极值，则常数a.3.由22222yxzyx表示的立体图形的体积V=.4．微分方程09yy满足初始条件10xy，20xy的特解为5．函数3yzxyu在点)1,1,4(M沿方向1,2,2l的方向导数是。三、计算题（5×7=35分）1．设),()2(xyxgyxfz，其中函数)(tf二阶可导，函数),(vug具有连续的二阶偏导数，求yxz2。2．设0222222zyxyxz可以分别确定x、y为z的函数，求dzdx与dzdy。3．交换积分次序，然后计算二重积分值10sinxxdyyydx。4．化为极坐标形式，然后计算二重积分值aAdyyxdx20022，其中22xaxA。5．求dVczbyaxI222222，其中为椭球：1222222czbyax。四、应用题（3×8=24分）1．求曲面22yxz和平面1zyx的交线与坐标原点的最远距离与最近距离。2．设物体由曲面22yxz与曲面222yxz围成，其体密度为常数1，试求该物体的质量和重心坐标。3．设有曲面442:222zyxS，平面0522:zyx。（1）在曲面S上求平行于平面的切平面方程；（2）求曲面S与平面之间的最短距离。五、证明题（1×11=11分）设uf连续，区域由10z，222tyx围成，设dVyxfztf222，求1）证明3)(lim20ttft；2）求)(tf.武汉理工大学考试试题解答（期中卷）一．1.D2.C3.D4.B5.C二．1．22.-53.12344.xxy3sin323cos5.31三．1.解：2122gygyxfxz22212222gxyggxyxfyxz2.解：方程分别对z求导，得0224221zdzdyydzdxxdzdyydzdxx从而得xzdzdx212，yzdzdy222，其中0xy。3.解：1sin1sinsinsinsinsin1021010102dyyyydyyyyydxyydydyyydxyyxx。4.解：916cos38320332002cos202022adadddyyxdxaAa。5.解：abcdzczczabdzczabczdxdyczdzdVczIcccDccz15412122022222222221由对称性可知1222IdVaxI，1223IdVbyI因此有abcII5431。四．1.解：设1,,,,22222zyxzyxzyxzyxL，则,022xxxL,022yyyL,02zzL,022zyx01zyx解之得231yx，32z，于是359mind，359maxd。2.解：质量6522102210202dddddVm，由积分区域的对称性可知01xdVmx，01ydVmy109561210202dzzddzdVmz，所以重心坐标为109,0,0。3.解：（1）设442,,222zyxzyxF，切点为000,,zyx，则法向量000,,,4,22,,000zyxFFFnzyxzyx，12422000zyx，切点为1,21,1和1,21,1，切平面方程为422zyx和422zyx（2）即求切点到该平面的距离，因此335112maxd，3135112mind。五．（1）证明：,23][][02102020222dftdzfzdddVyxfztftt303323)(limlimlim020020ftftdfttftttt，00f（2）ttfttf232，且00f，可分离变量的微分方程tdttftdf231，312tCetf，又00f，31C，1312tetf。