武汉理工大学-高数A下-2004级-A卷及答案-理工科

1武汉理工大学考试试题（A卷）课程名称：高等数学（下）专业班级：2004级理工科专业题号一二三四五六七总分题分1520162410105100备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．二元函数),(yxfz在点),(00yx的偏导数存在，是(,)fxy在该点连续的（）.A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件2．设函数()fu连续，区域22(,)2Dxyxyy，则()Dfxyd=（）.A．221111()xxdxfxydyB．222002()yydyfxydxC．2sin200(sincos)dfrdrD．2sin200(sincos)drfrdr3．下列级数中条件收敛的级数是（）.A．1)1(1nnnB．1(1)nnnC．21(1)2nnnnD．11nnn4．设L是平面上不包含原点的任一光滑有向闭曲线，则22Lydxxdyxy（）.A．B．2C．2D．05．方程36xyyyxe特解*y的形式可设为（）.A．3()xaxbeB．23()xaxbxeC．3xaxeD．23xaxe二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设函数(,)zzxy由方程0zexyz所确定，则zx________.2．设()fx连续，1()()(1)ttyFtdyfxdxt，则(2)F.3．设是平面123xyz位于第四卦限的部分，则的面积A______.24．设2()(01),fxxx而1()sinnnSxbnx，其中102()sinnbfxnxdx，1,2,n，则12S=.5．若221233,3,3xyyxyxe都是微分方程()()()yPxyQxyfx的解，则此方程的通解为.三、本题共2小题，每小题8分，满分16分1．设22(,)xyzfxye，f具有连续的二阶偏导数，求yxz2.2．在曲面zxy上求一点，使这点处的法线垂直于平面390xyz，并写出这法线的方程.四、本题共3小题，每小题8分，满分24分1．求22sin(2sin)(cos)2xxyLyeyxdxeyedy，L为2yxx上从(0,0)O到(1,0)A的有向曲线弧.2设为球面2222(0)xyzRR的外侧，计算33332222.xdydzydzdxzdxdyIxyz3．将函数xxf31)(展开成(2)x的幂级数，并指出收敛域.五、本题满分10分求内接于半径为a的球面且有最大体积的长方体.六、本题满分10分设级数24682242462468xxxx在x内的和函数为()Sx，求：（1）()Sx所满足的一阶微分方程；（2）()Sx的表达式.七、本题满分5分设40tannnaxdx，证明：对任意的常数0，级数1nnan收敛.32005年7月高数A（下）参考答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.D；2.D；3.B；4.D；5.B.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1.zzyzxexy；2.(2)f；3.72；4.14；5.2123xycxce.三、本题共2小题，每小题8分，满分16分1.''122xyzxfyefx（4分），2''2''2''2''''1112212222422xyxyxyxyxyzxyfxefyefxyefxyefefxy（8分）.2．解设所求点为000(,,)xyz，曲面在该点的切平面的法向量为00(,,1)nyx.（2分）依题意得：001131yx（4分），则0003,1,3xyz（5分）.即所求点为：(3,1,3)（6分），该点处的法线方程为：313131xyz（8分）.四、本题共3小题，每小题8分，满分24分1.解22sin2sin,cos2xxyyPeyxQeye，22112cos(2cos)22xxQPeyeyxy（2分）.从而128LAOLAODd（5分）.又011()2AOxdx（7分），所以182L（8分）.2．解33331IxdydzydzdxzdxdyR（2分）22233()xyzdvR（5分）422230003sinRddrrdrR（7分）2125R（8分）.3.解111()25(2)515fxxx（2分）11255nnx（6分）11(2)(1),375nnnnxx（8分）.五、本题满分10分解设球面的方程为：2222xyza，长方体在第一卦限的顶点坐标为(,,)xyz.则长方体的体积为：8Vxyz（2分）.设2222(,,)Fxyzxyzxyza（4分）则222220,20,20,.xyzFyzxFxzyFxyzxyza（7分），解得3axyz（唯一）.（9分）故当长方体成为棱长为23a的正方体时，其体积最大.（10分）六、本题满分10分解（1）2468(),2242462468xxxxSxx（1分）357'()224246xxxSxx(2分)246(1)(1())224246xxxxxSx（4分）即'()(1()),(0)0SxxSxS.（5分）（2）对于可分离变量的微分方程：'()(1())SxxSx5解得：22()1xSxCe（8分），由(0)0S得1C（9分）故22()1,xSxex.（10分）七、本题满分5分证明由于14200tan1nnntaxdxdtt1011ntdtn则101nan（2分）从而111(1)nannnn（3分）当0时，级数111nn收敛，（4分）故级数1nnan收敛.（5分）