武汉理工大学-高数A上-2008级-A卷及答案

1武汉理工大学高数A上2008级A卷及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）(1)0x时，(1)1xx是x的（）阶无穷小。A.1B.2C.3D.4(2)函数1222sin12xxxyx在0x处是（）间断点。A.可去B.跳跃C.无穷D.振荡(3)设()fu是可导函数，则函数2(sin)yfx的微分dy（）A.2(sin)fxdxB.22(sin)sinfxdxC.xdxfsin)sin2(D.xxdxfsincos2)(sin2(4)函数20()()xxftdt是下列（）函数的原函数。A.2()fxB.()fxC.2()fxD.()fx(5)下列反常积分收敛的是（）A.lnexdxxB.11dxxC.101dxxD.101dxx二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）(1)函数()yfx的麦克劳林公式是36611()()53fxxxxRx,其中6()Rx是()fx的麦克劳林公式的拉格朗日型余项，则(6)(0)y_____________.2(2)函数32(1)xyx的单调减区间_____________.(3)曲线2xyxe的凹区间_____________.(4)1sinsin1()xxeedx_____________.(5)曲线01xtyedt在0,ln4x上的一段长度L=______________.三、计算下列极限（本题共2小题，每小题7分，共14分）(1)222011cossin22lim(1)xxxxxxe（2）22001limsin1xxtdtxxt四、计算下列导数或微分（本题共2小题，每小题7分，共14分）(1)2231223xttytt(0)t，求22dydx(2)()yyx由方程sin()xyxy所确定，求(0)y五、计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，共21分）(1)1cosxdxx（2）arctan1xdx(3)设440()sin(2)fxxfxdx,求20()fxdx。3六、计算题（本题满分5分）设)(),(xgxf在,内有定义，对任意,xy有()()()()()fxyfxgyfygx，且(0)(0)0fg，(0)(0)1gf，求()fx。七、计算题（本题满分5分）设()2(1)nfxnxx，记()fx在区间0,1上的最大值为nM，求limnnM。八、应用题（本题满分5分）计算曲线sinyx、cosyx及0x、2x所围成的平面图形的面积。九、证明题（本题满分6分）设()fx在(,)内有一阶连续的导数，且1()02f，证明：存在10,2使()2()(0)fff。参考答案一，B,A,B,A,D二，1）6!32）(3,1)3）(1,)4）05）2三，1）22243200011cossin2sinsincossincos2limlimlim(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxe(4分)2200coscossinsin1limlim333xxxxxxxxxx（7分）2）22222202200002111limlim(4)limlim(6)2(7)sincos112xxxxxtxxdttxxxxxxx四，1）22221dytttdxt（3分）2212211dydxtt（7分）2）cos()()1xyyxyy（3分）cos()11cos()yxyyxxy（5分）00xy（6分）41（7分）五，1）1tantan(3)tan2cos(5)1cos2222cos2xxxxxdxxdxxdxxtan2lncos22xxxC（7分）2）2221arctan12arctan(2)2(arctan)(4)221ttxdxttdttdtt=2(6)(1)111(7)tarctagttarctagtcxarctagxxarctagxc3）令4200112(2)()22xtdxdtfxdxftdt设A=20()fxdx（3分）420sin(5)4AxdxA34(4)A（7’）六，00()()()()()()()()limlimxxfxxfxfxgxfxgxfxfxxx(2分)00()[()1]()[()(0)]lim()(0)()(0)lim[()()]()(0)()(0)()(5)xxfxgxgxfxfxgxgfxffxgxxxfxggxfgx（4分）七，2112()2(1)2(1)(1)[222]nnnfxnxnxxxnnxnx12(1)[1(1)]nnxnx（2分）111(0)0()2()(1)0112()12lim(5)nnnnxnfffnnnMnMe（3分）八，面积20sincosSxxdx（2分）52074042sin()42sin22sin42(5)xdxtdttdt九，设2()[()(0)]xFxefxf（2分）214()[()2(()(0))]11()(()(0))22xFxefxxfxfFeff()Fx在1[0,]2上连续，在1(0,)2上可导1()(0)2()12FFF存在1(0,)2即141()2(()(0))2Feff（4分）且1()()02FF。由于()Fx在1[,]2上连续据零点定理，存在1(,)2使()0F2[()2()(0)]0efff即()2(()(0))fff（6分）