材料力学之弯曲应力

(StressesinBeams)Chapter5StressesinbeamsMechanicsofMaterials(StressesinBeams)回顾与比较内力AF应力PITFAyFSM??目录(StressesinBeams)§5–1引言(Introduction)§5–2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)§5–3横力弯曲时的正应力(Normalstressesintransversebending)§5–4梁的切应力及强度条件(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力(Stressesinbeams)§5–5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)(StressesinBeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力(Stressesinflexuralmembers)当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既又弯矩M,又有剪力FS.§5–1引言(Introduction)mmFSmmM弯矩M正应力只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力所以,在梁的横截面上一般既有正应力(Normalstresses),又有切应力(Shearstresses)(StressesinBeams)简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲(Purebending).若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Purebending).二、纯弯曲（Purebending)FFaaCD++FF+F.a图5-1AB(StressesinBeams)三、分析方法(Analysismethod)对称弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)对称弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)RAF1F2RB•从简单到复杂，即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、再到组合变形进行研究。•连续体的超静定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行研究。(StressesinBeams)deformationgeometricrelationshipExaminethedeformation，thenproposethehypothesisDistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship§5–2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)(StressesinBeams)一、实验（Experiment）1、变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线(StressesinBeams)2、提出假设(Assumptions）(a)平面假设变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)单向受力假设纵向纤维间无正应力,只受单向拉压推论：必有一层变形前后长度不变的纤维——中性层（Neutralsurface）中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴(StressesinBeams)dx图（b）yzxo应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（a）dx二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）dzyxo’o’b’b’ybboo''bb()dyxbbdoo''oodyyddd)((StressesinBeams)三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??EyE(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴yyE(StressesinBeams)yzxOMdAyσdA四、静力关系(Staticrelationship）横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径ρ中性轴的位置待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAdAzyAAAFddNNFyMzMAAyAzMddAAzAyMdd0(1)0(2)M(3)NdFyMdzMd(StressesinBeams)将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAzdMIEzMAyEAd2(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度(Flexuralrigidity)zEIM1yEyzIMy(StressesinBeams)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyM为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论(1)应用公式时,一般将M，y以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处IyMzmaxmax则公式改写为WMmax引用记号——抗弯截面系数maxyIWz(StressesinBeams)（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy322/64/2/34ddddIWz62/12/2/23bhhbhhIWzDdαDW)1(3243(StressesinBeams)zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面ycmaxytmaxM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力ytmaxycmaxzIMyσmaxcσmaxtIMyσzccmaxmaxIMyσzttmaxmax(StressesinBeams)梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。正应力公式：最大正应力上次课回顾yEEzMyIzWMmaxmaxzzIWy(StressesinBeams)当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniformbending)§5–3横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)一、横力弯曲(Nonuniformbending)等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为zIMy][maxmaxWM(StressesinBeams)二、公式的应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula)1、在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)2、对称弯曲（Planebending）3、直梁（Straightbeams）三、强度条件（Strengthcondition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1、数学表达式（Mathematicalformula)][maxmaxWM(StressesinBeams)2、强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)][maxMW(2)设计截面][maxWM(3)确定许可载荷(1)强度校核][maxWM对于铸铁等脆性材料(Brittlematerials)制成的梁,由于材料的][][ct且梁横截面的中性轴(Neutralaxis)一般也不是对称轴,所以梁的maxmaxct(两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的许用拉应力(Allowabletensilestress)和许用压应力(Allowablecompressivestress)][maxtt][maxcc(StressesinBeams)例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a2030Φ14FRAFRB+Fa解(1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa(2)求惯性矩，抗弯截面系数334(3cm)(2cm)(1.4cm)(2cm)1.07cm1212zI43max1.07cm1.07cm1cmzzIWy(3)求许可载荷][maxzWMkN3][][aWFWFazz(StressesinBeams)80y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为[t]=30MPa,抗压许用应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m(StressesinBeams)RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解kN52.RAkN510.RB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5.2MCmkN4MBB截面][MPa2.271maxtzBtIyM][MPa2.462maxczBcIyMC截面][MPa8.282maxtzCtIyM80y1y22020120z(StressesinBeams)例题3由n片薄片组成的梁zbFlh当每片间的磨擦力甚小时,每一薄片就独立弯曲每一薄片中的最大正应力等于nbhFlnhblnFWMz22maxmax6)(61近似地认为每片上承担的外力等于nFzbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于bhFlbhFlWMz22maxmax661(StressesinBeams)引言：切应力问题的提出19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为什么沿纵向中截面开裂？D.JJourawski(1821－1891)是俄国桥梁与铁路工程师，发展了现在广泛应用的梁的剪切近似理论(StressesinBeams)一、梁横截面上的切应力1、矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)§5–4弯曲切应力及强度条件(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)(1)两个假设(Twoassumptions)(a)切应力与剪力平行(b)切应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处剪应力相等)q(x)F1F2xdx2h2h2b2byyzC()ySF思考:能否假设(y)沿截面高度