数学-信息--传染病--外文翻译

1带有垂直传染和接种疫苗SEIRS流行病模型的全局稳定性GlobalStabilityofanSEIRSEpidemicModelwithVerticalTransmissionandVaccination作者：苟清明刘春花起止页码：56--61出版日期(期刊号)：2010年11月(1673-9868)出版单位：西南大学学报(自然科学版)外文翻译译文：摘要：本文建立一个考虑了疾病的水平传播和垂直传播以及接种疫苗等因素的传染病模型，通过排除周期解、同宿轨和异宿环的存在来研究模型的全局稳定性，最后证明系统的全局动力学特性完全由基本再生数0R所确定：当01R时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当01R时，地方病平衡点是全局渐进稳定的.关键词：传染病模型；垂直传播；疫苗；全局稳定性中图分类号：O17513文献标识码：A在许多传染病模型中，总是假设人口传染病是通过直接接触感染源或通过诸如蚊子等媒介叮咬，或通过水平传播.但是许多传染病不仅有水平传播还有垂直传.垂直传播也可通过媒介的胎盘转移完成，如乙肝，风疹，疱疹的病原体.对昆虫或植物而言，往往是通过垂直传播如卵或种子.Busenberg等人讨论了疾病的水平传播和垂直传播问题.在本文中，我们假设疾病既有水平传播又有垂直传播.我们假定人口具有指数出生，人口被均匀分为四个仓室：易感染者(S)，潜伏者(E)，染病者(I)和恢复者(R).因此总人口为NtStEtItRt.我们认为这种疾病不是致命的，人均自然出生率和死亡率分别记为参数b和d.我们假设，潜伏者的新生儿进入易感者类，而染病者的新生儿有q比例是感染者.因此进入潜伏者类的新生儿为bqI，01q.对于染病者类，我们假设δ比例的染病者具有永久免疫力，进入R类，r比例的染病者没有免疫力，进入S类，模型假设易感者类的接种比例为θ.根据上述假设，得到如下微分方程2',',','.sSbNIbqIdSSrINSEIbqIdEENIEdIIrIRIIdR(1)这里β是常规接触率，参数μ是从E类到I类的转换率.参数b，d，β，μ为是正数，θ，σ，r为非负数.设x=S/N;y=E/N;z=I/N和ω=R/N分别表示S，E，I，R在总人口中的比例.易证x，y，z，ω满足下列微分方程：''''xbbxxzbqzxrzyxzbqzbyyzybzzrzwzxbw(2)受1xyzw的限制，由于变量不出现在方程组（2）的前三式中，这使我们减少方程（2）得到一个子式.'''xbbxxzbqzxrzyxzbqzbyyzybzzrz(3)在可行的区域内，我们从生物角度研究(3)式,,:0,0,0,1Vxyzxyzxyz(4)在V中(3)式的动态学行为和疾病传播是由如下基本再生数决定的0BqbRbbbr(5)本文的目的是要证明(3)的动力学行为由0R决定.1数学框架我们简要概述一个一般的数学框架，证明了一个常微分方程系统的全局稳定性，这是在文献[3]中提到的.3令nxfxR是一个1C函数，x属于开集.nDR让我们考虑如下微分'xfx(6)我们记00,xx是式(6)中使得000,xxx的一个解.如果每个对于KD和充分大的t，10,xKK则(6)式中集合K收敛于D.我们提出两个基本假设：1H存在一个紧的吸引集合K⊂D.2H在D中(6)具有唯一的平衡点x.若x是局部稳定且在D中所有的轨迹收敛到x，则唯一的平衡点x是全局稳定的.对于可行区域是有界圆锥体的传染病模型，1H是等价于(6)的一致持久性.对于x∈D，设xPx是一个22nn矩阵值函数为1C的.假设当x∈K，K为紧集时，1Px存在，且为连续的.一个数量2q定义为02001limsupsup,txRqBxsxdst(7)211ffBPPPPx(8)矩阵fP是通过P沿f方向的导数来代替P的每个元素ijP得到的，ijP、f和2fx是第二加性复合矩阵f的雅可比矩阵fx和及μ(B)是B的Lozinskii测度，其向量范数为89NR中的范数.文献[3]中定理3.5给出了如下全局稳定性结果.定理1设D是单连通的，而且假设1H，2H成立.如果2q0的，则(6)的唯一的平衡点x在D是全局稳定的.4文献[3]证明了在定理1的条件下，条件2q0排除了(6)中有不变闭曲线的可能性，如周期解，同宿轨和异宿轨，因而它蕴含了x的局部稳定性.使用定理1来分析(3)的全局稳定性，设V，0R定义分别为(4)，(5).易证V是系统(3)的正不变集.2模型(3)的定性分析易证，如果001,,0,0bREb是模型(3)在V中的唯一平衡点；如果1,RV的内部存在唯一的地方病平衡点****,,Exyz.定理2如果01R，系统(3)的无病平衡点0,0,0bEb在V中是全局渐近稳定；如果01R则它是不稳定的，从足够靠近0E出发的轨线远离0E，从x−轴出发的轨线沿x−轴趋向于0E.证明令0bbqbLRyzbbr则如果，01R，'0xbqbLbqzbbbr而且，如果0'0,0,10,0,blzxRzyb则或及。当则bxb；否则，如果bxb，则在V中y=z=0.因此集合,,:'0xyzVL中的最大紧不变集是单点集0E.当01R时，0E的全局稳定性由Lasalles不变集原理得到.5如果01R，则除了y=z=0的情形，当x足够接近bb时候，'0L.因此，从足够接近0E出发的轨线远离0E，从X轴出发的轨线满足系统(3)的方程'xbbbx，从而当t→∞，bxtb.当01R时，V中系统(3)的全局动力学完全由定理2决定.其流行病学含义是，受感染人口在总人口中的比例(即潜伏者和染病者比例之和)随着时间而趋于零.引理1如果01R，此时系统(3)在v中是一致持久的，也即存在一个常数0ε1使得从0,0,0xyzV出发的任意解,,xtytzt都满足mininf,inf,inftttlinxtlinytlinzt证明我们运用参考文献[4]中的定理4.5来证明此引理.为了证明当01R，系统(3)满足定理4.5的所有条件，我们选择V=X，2XV，1XV.那么22200,0,0:01,,sYYxxsEE是X中的一个不变集，令0ME，由定理2知，包含0E的同宿轨道不存在，而且M是1X一个弱排斥子.因此M是2的非循环的，孤立的，覆盖.因此，文献[4]中定理4.5的所有条件系统(3)都满足，因此引理得证.为了证明地方病平衡点*E的全局渐近稳定性，我们需要另一个引理.引理2假设,,xtytzt是(3)的解且0,0,0xyzV.如果01R，则存在00T，当0tT时，解满足xbqr.证明由(3)的第一个方程知'()()xbbxxbqrz6如果bq≥r，显然成立.如果bqr，令()/xrbq.当01R时，易得brb，因此，0bxb，从而当0xx时，'0bbxbqrb.因此，当t从分大时，有xtx.从而引理结论得以证明.定理3假定01R，那么在V中，唯一的地方病平衡点*E是全局渐近稳定的.证明通过第一节的讨论以及引理1，我们看到系统(3)满足假设1H和2H.系统(3)的通解,,xtytzt的雅可比矩阵J为：00bzbqrzbxbqbr其第二复合加法矩阵为：222002zbxbqxbqrJzrbzrb(9)关于复合矩阵及其性质的详细讨论，请读者参考文献[9].设(8)中的函数P(x)为(,,)1,/,/Pxyzdiagyzyz，则10,'/'/,'/'/fPPdiagyyzzyyzz，(8)中的矩阵211fBPPPJP，可以被写成矩阵块的形式11122122BBBBB当112Bzb，12,zzBxbqxbqryy，210yBz，722''20''2yzzrbyzByzzrbyz在332RR中，向量范数选作,,max,uvwuvw.让μ(.)表示该对应范数的Lozinskii度量.利用文献[11]中估计μ(.)的方法，得12sup,Bgg(10)其中111112221122,gBBgBB122B表示在2R中的1l范数对应的的Lozinskii度量.由于11B为标量，对于1R中的任意范数11B的Lozinskii度量都是等于11B.12B，21B是对应于1l范数的矩阵范数.因此，1122''2,2,zyzBbBrbkyz这里min(,)k由引理2知，当0tT时，有12zBxbqy，21yBz.因此，当0tT时，1111122zgBBzbxbqy(11)221122''2yzygBBrbkyzz(12)重写(3)，我们有'zyxbqbyy(13)'yzbrzz(14)8将(13)代入到(11)，(14)代入(12)，我们可得，当0tT时，12'',yygbgbyy由此得'/,Byyb根据(3)式的,,0,0,0,xtytztxyzKK是紧促吸收集.对于0tT，有00000111ln,TyttTBdsBdsbttttTt从(7)可知2/20,qb，这就完成了证明定理3.3人口数量的动态学行为现在考虑,,,StEtItRt和NtStEtItRt构成的动力学行为，它们有系统(1)来控制.由于(1)的前三个方程中没有出现R(t)，因此我们研究其等价系统：',',',''.SSbNIbqIdSsrINsEIbqIdEENIEdIIrINbNdN(15)显然，人口总量N(t)可能增加、减少或为常数，其完全依赖于增长率r=b−d.比例(x，y，z)可能趋向于,0,0bb或地方病平衡点*,*,*xyz，但是感染者比例的变化并不能给提供我们关于染病者(包括E类和I类)行为变化的信息.特别地，即使被感染的个体的总数呈指数增加，但以比人口总量Nt增长率低，那么这两者所占的比重将趋向于零，然而，被感染个体的总数趋于无穷.我们也能够想象出相反的情况——感染者的数量和人口总量的下降到零，但是二者比例一直保持(非零)常量不变.在这种情况下，只要人口总量非零，就一定存在感染者.为了描述,,StItEt9的变动情况，我们需要另外两个阈值参数(文献[12]中有介绍).以下是相关的阈值参数：02*0,1,,