数列和不等式的证明策略!!

1数列和式不等式的证明策略数列和式不等式的证明经常在竞赛题或试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，通常是按一定的步骤进行证明的，一类是把和求出来后再放缩，一类是把通项放缩后再求和，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明一般性策略。例1、已知数列}{na中，,1na且)2(32121nnannannn（1）求数列}{na的通项公式；（2）令nnnab13，数列}{nb的前n项和为ns，证明当3n时，nsn2解：（1）13nnna（解答过程略）（2）法一：用数学归纳法证明①当3n时3817161413121132s②设)3(kkn时有ksk2当1kn时1122221121221kkSSkkkkkkk即当1kn时不等式成立，综合①②得nSn2法二：利用延后分组放缩法证明：由法一易知3,332Sn当4n时nnnS21121211212112121121211143322112易证112221121111nnnnnnnSn331)3(812112法三：放缩裂项求和法由法一知3n时332S当4n时利用导数易证)1ln(ln1nnnnnSnnn2ln1)12ln(2ln1ln2ln12综上知当3n时nSn22例2、已知数列}{na，若点),(1nnaa在直线2121xy上133lim11xxax（1）求数列}{na的通项公式（2）设)1()1()1)(1(nnnnappppb（其中1p）数列}{nb的前n项和为nS求证：])21(1[11)12(1212nnnppppSbn解：（1）nna)21(1（解题过程略）（2）证明：观察])21(1[1112npppp结构与等比数列前12n项和结构相似，可利用构造等比数列求和法证明：)1(2)1(1nnnnppppb，pppppppppppPppbbnnnnnnnn21)1(2)1)(1()1(2)1)(1()1(2)1)(1(11bnppbn211ppb2112n当时ppbnn2)1(])21(1[1112122112nnnppppbbbS由左端不等式观察到nb是12nS式中最中间项，可利用对偶式首尾相加求和法。)1(2)1()1(2)1()1(2])1(2)1()1(2)1([12222222knknknkkkknknknkkkknkppppppppppppbb112)1()1(2)1)(1(12)1()1(2222knknnnknknnppppppppppp＝bnnSbppppnnnnn)12(,22)1()1()1(212综上得：原不等式成立。例3、已知231)2(1nna，求证1)1()1()1(221nnnaaaS解析：和式中各项正负相间时，通常可采用奇偶相邻捆绑求和法。证明：当m为奇数时3]231)2(1[)1(]231)2(1[)1()1(11111mmmmmmmmaa）（11121121219123123122231213121mmmmmmmmm当n为奇数时nnnnaaaaaaaT)()()(12432113121)21(123121212121211122nnnnn当n为偶数时1)21(1212121)()(2121nnnnnaaaaT综上得原不等式成立。例4、已知各项均为正数的数列}{na的n项和满足1nS且))(2)(1(6*NnaaSnnn（1）求}{na的通项公式；（2）设数列}{nb满足1)12(bnna，并记下nT为}{nb的前n项和，求证：)3(log132nnaT解（1）13nan（解题过程略）（2）可利用数列单调性放缩法由1)12(bnna得133log2nnbn则有]232)335623[(log)3(log133122nnaTnnn设232]335623[)(31nnnfn则23)23)(53()33()()1(nnnnfnf又079)23)(53()33(23nnnn)()1(nfnf)(nf为增函数，12027)1()(fnf0loglog13)(2)3(2nfannT)3(log132nnaT总之，数列和式不等式的证明，关键是观察对和式或通项怎样进行合理放缩，掌握以上这些放缩的一般方法，将对解题带来方便。