第二章---§2---导数的概念及其几何意义

第二章§2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二考点三一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．提示：8米/秒．提示：ΔsΔt＝s3＋Δt－s3Δt＝14＋2Δt，当Δt→0时，ΔsΔt→14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度．问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值y关于x的平均变化率．提示：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？提示：是．导数的概念1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．固定的值fx1－fx0x1－x0fx0＋Δx－fx0Δx2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0＝limΔx→0.fx1－fx0x1－x0fx0＋Δx－fx0Δx问题1：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为ΔyΔx，你能说出它的几何意义吗？问题2：当Δx变化时，直线如何变化？问题3：当Δx→0时，直线变化到哪里？提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．提示：直线AB绕点A转动．提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置导数的几何意义1．割线的定义：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为ΔyΔx，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．斜率2．切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在处的切线．3．导数的几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的．点A点A切线的斜率1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若limΔx→0ΔyΔx存在，则函数y＝f(x)在点x0处就有导数．2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率．[例1]求函数y＝4x2在x＝2处的导数．[思路点拨]由所给函数解析式求Δy＝f(Δx＋x0)－f(x0)；计算ΔyΔx；求limΔx→0ΔyΔx.[精解详析]∵f(x)＝4x2，∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝42＋Δx2－1＝－4Δx－Δx22＋Δx2，∴ΔyΔx＝－4－Δx2＋Δx2，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－4－Δx2＋Δx2＝－1，∴f′(2)＝－1.[一点通]由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；③取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.1．函数y＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2＋ΔxC．2D．1解析：y＝x2在x＝1处的导数为：f′(1)＝limΔx→01＋Δx2－1Δx＝2.答案：C2．已知函数f(x)＝ax2＋2x在x＝1处的导数为6，求a的值．解：∵f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0a1＋Δx2＋21＋Δx－a＋2Δx＝limΔx→0a·Δx2＋2a＋2·ΔxΔx＝limΔx→0[a·(Δx)＋(2a＋2)]＝2a＋2，又∵f′(1)＝6，∴2a＋2＝6，∴a＝2.3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．解：Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋11＋Δx＝2，从而f′(1)＝2.[例2]已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．[思路点拨]利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程．[精解详析]因为ΔyΔx＝31＋Δx2－1＋Δx－3×12－1Δx＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[一点通]求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．4．已知f(x)＝x2，曲线y＝f(x)在点(3,9)处的切线的斜率为________．解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为kPQ＝3＋Δx2－9Δx＝6＋Δx.当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在点P(3,9)处的切线的斜率为6.答案：65．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y＝2x上，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝2x在x＝－2处的导数．∴k＝f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx－2－2Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.[例3]已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[精解详析]设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx趋于零时，ΔyΔx趋于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．[一点通]解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，∵Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx，∴ΔyΔx＝2x＋Δx－3.∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx－3)＝2x－3.由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝32，代入曲线方程得y0＝－94.所以点P坐标为32，－94.答案：32，－947．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f′(1)＝12，由切线方程得f(1)＝12×1＋2＝52，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：38．求证：函数f(x)＝x＋1x图像上的各点处的斜率小于1.证明：∵f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx＋1x＋Δx－x＋1xΔx＝x2－1x2＝1－1x21，∴f(x)＝x＋1x图像上的各点处的斜率小于1.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．