[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的定义及诱导公式

任意角的三角函数、诱导公式例1已知角的终边过点(,2)(0)aaa，求的六个三角函数值。解：因为过点(,2)(0)aaa，所以5||ra，,2xaya当22250sin55||5yaaaraa时，；5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；当22250sin55||5yaaaraa时，5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22例2已知角的终边上一点(3,)Pm，且2sin4m，求cos,sin的值。解：由题设知3x，ym，所以2222||(3)rOPm，得23rm，从而2sin4m23mmrm，解得0m或216625mm新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当0m时，3,3rx，cos1,tan0xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx；当5m时，22,3rx，615cos,tan43xyrx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例3若sincos0，试确定所在的象限。分析一：首先确定sin与cos的符号，再判断所在的象限。解析一：由sincos0知0cos0sin20cos0sin1，或。由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限，所以在第一或第三象限。分析二：先化简关系式再确定的范围。解析二：由sincos0有2sin210，即sin20，所以Zkkk222,Zkkk2当k=2n（n∈Z）时，为第一象限，当k=2n+1（n∈Z）时，为第三象限故，为第一或第三象限。分析三：因判断所在的象限，故本题可以用特殊值（各个象限各取一个）来判断。解析三：若令=61167656、、、代入sincos0，可以验证知，只有=、、676满足条件，所以为第一或第三象限。例4化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)；（2）sin120cos330sin(690)cos(660)tan675cot765解：（1）原式sinsintantan1tancoscostan（2）原式sin(18060)cos(36030)sin(720690)cos(720660)tan(675720)cot(765720)sin60cos30sin30cos60tan(45)cot453311tan45122223111144新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例5化简23cotcos()sin(3)tancos()解：原式23cot(cos)sin()tancos()23cot(cos)(sin)tan(cos)23cot(cos)sintan(cos)2222cossin1sincos例6化简sin()sin()()sin()cos()nnnZnn新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：①当2,nkkZ时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)coskkkk新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②当21,nkkZ时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]coskkkk点评：关键抓住题中的整数n是表示的整数倍与公式一中的整数k有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。例7化简：02020002270cot48sin45tan45tan242sin分析：如果用和差角的三角函数进行化简，显然很繁杂，若是观察到420++480－=900,450++450－=900,则可以直接应用诱导公式求解。解：原式=2000202tan45cot45tan242cos42sin=1－2－2tan=－1－2tan=－2sec新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少，函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值。除之之外，善于发现差异，寻找联系，能进行合理的转化，也是非常重要的。如本题充分利用了角之间的联系，即互余关系，然后借助诱导公式和平方关系轻松求解。例8若3101lg3sin，求：23sincos23sin2cos1coscoscos的值。分析：由已知条件首先求出sin的值，再将所求式化简，可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简，或直接运用诱导公式“负化正，大化小”化简，最后代值即可。解法一：由3101lg3sin有31sin3110lgsin31，新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆23sincos23sin2cos1coscoscos1892sin2cos12cos111cos1coscoscoscos1coscoscos22解法二：原式=2sincos23sin2cos1coscoscos18312sin2cos111cos1coscos2sincos1cos12sincos2sincos1cos122小结：（1）三角函数在各个象限的符号如下（理论根据是任意角的三角函数的定义）：正弦、余弦、正切函数在第一象限全正，在第二象限只有正弦为正，在第三象限只有正切为正，在第四象限只有余弦为正，而余割、正割、余切分别与正弦、余弦、正切的符号相同。（2）当判断“形如cossin”的三角函数符号问题时，首先应将函数值cos看成一个角（此角是以弧度制表示的），再设法弄清表示角的三角函数值cos的取值范围，即此角“cos”是第几象限角。（3）在判断角的象限时，要灵活地选取方法，如特殊值对解选择题、填空题来说更好，可以节省更多的时间，而且也提高了准确率。（4）由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简比直接采用诱导公式化简要简捷得多，但在使用“奇变偶不变，符号看象限”时要对其真正的含义有透彻的理解，即诱导公式的左边为k·900＋（k∈Z）的正弦（切）或余弦（切）函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角），然后分析k·900＋（k∈Z）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号。