[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的最值及综合应用

三角函数的最值及综合应用例1函数y=acosx+b（a、b为常数），若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：函数y=acosx+b的最值与a的符号有关，故需对a分类讨论新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：当a＞0时，71babaa=4，b=－3；这时bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin（x+）≤5（tan=－34）；当a=0时，不合题意；当a＜0时，71babaa=－4，b=－3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆这时bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin（x+）≤5（tan=34）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆综上述，当a=4，b=－3或a=－4，b=－3时，bsinx+acosx的最大值为5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例2求函数y=cot2xsinx+cotxsin2x的最值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：y=xxsincos1·sinx+xxsincos·2sinxcosx=2（cosx+41）2+87新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∵sinx≠0，∴cosx≠±1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴当cosx=－41时，y有最小值87，无最大值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例3求函数y=xxcos2sin2的最大值和最小值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx=2－2y，即sin（x－）=2122yy新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆故21|22|yy≤1，解得374≤y≤374新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴ymax=374，ymin=374新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由21|22|kk=1，得k=374新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴ymax=374，ymin=374新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1-1M(cosx,sinx)P(2,2)oyx例4已知函数12)6(,8)0(,cos2cossin2)(2ffxbxxaxf且新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（１）求实数,ab的值；（２）求函数)(xf的最大值及取得最大值时x的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：(0)8,()12,6ff（1）由可得33(0)28,()12,6224,43.(2)()43sin24cos248sin(2)4,6fbfabbafxxxx所以22,,626xkxkkZ故当即时，函数f(x)的最大值为12新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例5已知函数baxxaxaxf2cossin322cos的定义域为20，，值域为[－5，1]，求常数,ab的值．解：∵baxaxaxf22sin32cos，baxa232cos2．∵20x，∴32323x，∴132cos21x．当a0时，b≤f(x)≤3a+b，∴.513bba，解得.52ba，当a0时，3a+b≤f(x)≤b．∴.153bba，解得.12ba，故a、b的值为52ba或12ba点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．例6设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4)12(f，（1）求、a、b的值；（2）若,是方程()0fx的两根，,的终边不共线，求tan()的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：(1))xsin(ba)x(f22，T，2，又)x(f的最大值()412f，22ba4①，且122cosb122sina4②，由①、②解出2,23ab新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)∵)3x2sin(4x2cos32x2sin2)x(f，()()0ff，)32sin(4)32sin(4，32k232，或)32(k232，即k(、共线，故舍去)，或6k，33)6ktan()tan()Zk(新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例7已知函数)(1cossin23cos212Rxxxxy(1)求函数y的最大值，并求此时x的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)该函数的图象可由)(sinRxxy的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(1)45)62sin(211cossin23cos212xxxxy，47max,,6yZkkx时当；（2）将函数xysin的图象依次进行如下变换：①把函数xysin的图象向左平移6，得到函数)6sin(xy的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)62sin(xy的图象；