2018年中考数学之四点共圆专题讲义试题

四点共圆四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”1.到顶点距离相等的各点共圆2.同斜边的直角三角形的顶点共圆。3.对角互补的四边形的顶点共圆。4.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。一、到顶点距离相等的各点共圆1、如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=2、已知：A、B、C三点不在同一直线上．(1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，（i）如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长；（ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=2BCR；(2)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与A不重合)滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．OA=OB=OC∠ADC=∠ABC=90°∠ACD=∠ABD=90°∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE∠A=∠D或∠B=∠CDACB第1题图二、同斜边的直角三角形的顶点共圆。1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=＿＿＿2、如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D为AC中点，过D作DE⊥DF，分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为3、如图，错误!未找到引用源。,M、N分别是线段AC、BD的中点，求证:MN错误!未找到引用源。BDNMDCBA4、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F，连接OF，则OF的长为？OFEDCBAODABCEFEDCBA5.如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G．求证：∠CAF=∠CDE．6.锐角△ABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的高线，EM⊥BD于M,DN⊥CE于N.求证：MN//BC.三、对角互补的四边形的顶点共圆。1.如图，△ABC为等边三角形，D,E分别为BC,AC边上的点，且BD=BC,CE=,AD与BE相交于点P,求证：CP⊥AD2.已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP长．四、同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。已知错误!未找到引用源。中，D为AB边上任意一点，DF错误!未找到引用源。AC交BC于点F，AE错误!未找到引用源。BC，错误!未找到引用源。.(1)如图1，当错误!未找到引用源。=60错误!未找到引用源。时，求证：错误!未找到引用源。是等边三角形(2)如图2，当错误!未找到引用源。=45错误!未找到引用源。时，①求证：错误!未找到引用源。;②CE错误!未找到引用源。(3)如图3，当错误!未找到引用源。为锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是：图1图2图32.已知：如图2，△ABD和△AEC分别是以△ABC的边AB、AC向外作的等边三角形，联结BE、CD相交于F。求证：AF平分∠DFE3.如图，E、B、A、F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A、B的一个动点，且满足∠BAD=30错误!未找到引用源。，则（）A.点P一定在射线BE上B.点P一定在线段AB上C.点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上D.点P可以在射线BE上，也可以在线段AB上4.正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，，，求。5.在△ABC中，∠A=30°，AB=23，将△ABC绕点B顺时针旋转（0°90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.（1）如图1，若=60°，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；（2）如图2，若=90°，求∠AFB的度数和BF的长；（3）如图3，若旋转（0°90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含的代数式表示）.【旋转中的隐圆问题】1.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是___.图3DCBAFE图1DCBA图2EFDCBA2.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是折线段A－D－C上的一个动点(点E与点A不重合)，点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有_____个。3．（12分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．求实务实落实201874.以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30∘.(1)点E.F.M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.①如图1,当点D.C分别在AO、BO的延长线上时,FMEM=___；②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角(0∘α60∘),其他条件不变,判断FMEM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；(2)如图3,若BO=33，点N在线段OD上，且NO=3.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为___，最大值为___.【规律问题】1.如图，把n个边长为的正方形拼接成一排，求得31Ctan∠an1,C∠BAtan21，71C∠BAtan3，……按此规律，写出C∠BAtann_____（用含n的代数式表示）2.在平面直角坐标系中，直线1:xyl与x轴交于点1A，如图所示依次作正方形,111OCBA正方形,1222CCBA…,正方形,1nnnnOCBA使得点,,,321AAA在直线l上,点,,,321CCC在y轴正半轴上，则点nB的坐标是_________________。求实务实落实201883、如图，一段抛物线:)20)(2(xxxy记为1C，它与x轴交于两点1,AO；将1C绕点1A旋转180得到2C，交x轴于点2A；将2C绕点2A旋转180得到3C，交x轴于点3A；……如此进行下去，直至得到6C，若点),11(mP在第6段抛物线上6C上，则m=____________.4、如图，点1A的坐标为(1,0），点2A在y轴的正半轴上，且3021OAA，过点2A作32AA⊥21AA，垂足为点2A，交x轴于点3A；过点3A作43AA⊥32AA，垂足为3A，交y轴于4A；过点4A作54AA⊥43AA，垂足为点4A，交x轴于点5A；过点5A作65AA⊥54AA，垂足为点5A，交y轴于6A，……按此规律进行下去，则点2016A的纵坐标为________________________。