论文--置换矩阵的性质及其推广1

通化师范学院本科生毕业论文（2012届）题目置换矩阵的性质及其推广系别:数学系专业:数学与应用数学班级:二班作者姓名:居海丽学号:200806010204指导教师:高玉峰职称:助教学历:研究生论文成绩:2012年5月-I-目录摘要..............................................................................................................IAbstract...........................................................................................................II1引言................................................................................................................11.1置换矩阵的定义........................................................................................21.2广义置换矩阵的定义................................................................................22置换矩阵的性质............................................................................................32.1置换矩阵的基本性质................................................................................32.2对称置换矩阵...........................................................................................72.2.1对称置换矩阵的定义........................................................................72.2.2对称置换矩阵的基本性质................................................................73广义置换矩阵的性质...................................................................................83.1广义置换矩阵的基本性质........................................................................83.2广义置换矩阵的判定...............................................................................94置换矩阵的应用...........................................................................................94.1置换矩阵在矩阵行列式变换中的应用.........................................................94.2置换矩阵在模糊交换矩阵中的应用........................................................115结束语..........................................................................................................12致谢语............................................................................................................12参考文献........................................................................................................12指导教师评语....................................................................................................评阅人评语........................................................................................................-II-置换矩阵的性质及其推广数学系2008级2班居海丽摘要:本文介绍了置换矩阵和对称置换矩阵的定义和基本性质,探讨了广义置换矩阵的基本性质及判定方法,讨论了置换矩阵在矩阵行列式变换和模糊交换矩阵中的应用.关键词:置换矩阵;对称置换矩阵;广义置换矩阵;模糊交换矩阵PropertiesandPromotionofPermutationMatrixClass2,2008,DepartmentofMathematicsJuHailiAbstract:Thepassageisintroducedfromdefinitionandbasicpropertiesofpermutationmatrixandsymmetrypermutationmatrix,then,somepropertiesanddeterminemethodsofgeneralizedpermutationmatrixarestudied,permutationmatrixisdiscussedinlines-rowschangedonmatrixandfuzzycommutematrix.Keywords:Permutationmatrix;symmetrypermutationmatrix;generalizedpermutationmatrix;fuzzycommutematrix-1-1引言置换矩阵是布尔矩阵的特例,在代数学中占有重要地位,许多《高等代数》、《矩阵论》的书籍都有涉及.置换矩阵具有良好的特性与结构,对置换矩阵的定义和性质进行深入的研究是十分必要的.置换矩阵的推广形式在实际生活中也有重要应用.上世纪末,华罗庚教授就曾在研究“计划经济大范围最优化的数学理论”中引入了这类重要的非负可逆矩阵——广义置换矩阵.因此,本文也将探讨广义置换矩阵的性质及判定方法.在下文将用到一些数学符号,在这里介绍一下:设,xy是置换矩阵中的任意元素,所以,{0,1}xy,我们定义如下:(1)1xx,我们把“”叫做互补运算.即0的补为1,1的补为0.(2)(,)xymaxxy,我们把“”叫做并运算.即表示取元素,xy中的大者.(3)(,)xyminxy,我们把“”叫做交运算.即表示取元素,xy中的小者.(4)xyxy,我们把“-”叫做差运算.其中“”,“”满足结合律.为了使后文讲述的更加清楚,将他们分别应用于矩阵中,首先设M、N为nn置换矩阵,以下事例中设001100010M100001010N我们还得出以下式子成立(1)()ijijMNmn例001100101100001101010010010(2)()ijijMNmn例001100000100001000010010010(3)()ijMm例001110100011010101(4)()ijijMNmn例-2-001100001011001100001100110100010010010101000(5)1()niaajaMNmn1.1置换矩阵的定义如何研究好置换矩阵,对它的定义分析是十分重要的,所以给出如下定义:对于n阶布尔方阵M中任意的i、j行或列,当行列不相同时即（ij）时有如下式子成立0iajamm或0aiajmma{1,2,,}n.我们把这样的布尔方阵叫做正交.对于n阶布尔方阵M中的任意的i、j行或列,有如下式子成立11niaam或11najama{1,2,,}n.我们把这样的布尔方阵叫做标准的.如果M既是正交的又是标准的布尔方阵,我们称这样的矩阵为置换矩阵.例000010000001100000000000000100为置换矩阵.由以上定义可以明确置换矩阵每行每列有唯一一个1,行列上的其它元素均为0.1.2广义置换矩阵的定义设集合A={1,2,…,n},w为A到本身的一个映射,则我们可以得到和这个映射w相伴随的矩阵,就是()1ijW或()0ijW((),,1,2,,)jwiijn,W就叫做与映射w相伴的广义置换矩阵.例设集合A={1,2,3,4,5},(1)2w,(2)3w,(3)1w,(4)4w,(5)3w,则可以得到映射w的相伴矩阵为0100000100100000001000100W-3-从上面的例题可以看出广义置换矩阵是一种特殊的(0,1)矩阵.2置换矩阵的性质第一部分介绍了置换矩阵与广义置换矩阵的定义,本节将研究置换矩阵和对称置换矩阵的性质及证明,并给出具体例子加以说明.2.1置换矩阵的基本性质性质1如果M是置换矩阵,那么以下式子成立:MMI,反之亦然.证明充分性因为MMI,则由定义知1()()0nijiajaaMMmm,()ij所以M是正交的,又因为11()()1nniiiaiaiaaaMMmmm所以M是标准的.必要性因为M是置换矩阵,所以存在正交性,则有1()()()ijnijiajaaMMmm,所以MMI.注0()ijij或1()ijij.例1设0010000000000011000001000M则00001100000000000010M故有-4-10000010000001000001MMI.性质2如果M是置换矩阵,那么以下式子成立(1))MMI;(2)MIIMM.证明根据矩阵运算法则)()()()MMMEMMEMMEII.例200100000001000001000M那么0010000100000000M则有11011110)11111111M故01111011)11011110MMI