等比数列的概念及通项公式

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com讲解新课：课题导入课本P48页的4个例子：(1)细胞分裂问题(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”(3)计算机病毒感染问题(4)银行复利计算问题①1，2，4，8，16，…121418116②1，，，，，…220320420③1，20，，，，…100001.01982100001.01983100001.01984100001.01985100001.0198④，，，，……请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？从第二项起，每一项与它前一项之比等于同一常数.忆一忆什么是等差数列？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。比一比共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。(1)(2)(3)23631,2,2,2,2……,161,81,41,21……9，92，93，94，95，9636，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…（4）)2(1nqaann或)(*1Nnqaann其数学表达式等比数列定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。比同一个常数20na(判断一个数列是否为等比数列的依据)指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由．(3)2,-2,2,-2,2(1)１,2,4,16,64,…(2)16,8,1,2,0,…不是是不是不一定(4)a,a,a,a,a…0a练一练思考：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么关系？若q0，则各项的符号与a1相同；若q0，则各项的符号正负相间.注意：公比q能不能是零？不能！！注：(1)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。(2)公比不为0，即q≠0。通项公式数学式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示qaann1?名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1daa12d2aa13d3aa14……由此归纳等差数列的通项公式可得：法1：不完全归纳法d)1n(aa1n1n1nqaana4a法1：不完全归纳法qaaqaa12123a……由此归纳等差数列的通项公式可得：a1q2a1q3a1qn-1名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，a1=a1上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：法名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(11n1nqaa……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：累乘法qaa23qaa1nn把这n-1个式子相乘，得：1n1nqaa当n=1时，上式成立*1n1nNn,qaa例1：在等比数列{an}中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,,932,8,naqanaqaaqaaa已知求已知，求；已知求；已知求q(3)(4)1,,,11naaqaqannn对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一例2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求1n1nqaa解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。名称等差数列等比数列通项公式引申*mnNm,nd)mn(aa*,nmnmaaqnmNd)1m(aa1md)1n(aa1nd)mn(aamnd)mn(aamn可得已知等差数列｛an｝中，公差为d，则an与am（n,m∈N*）有何关系？已知等比数列｛an｝中，公比为q，则an与am（n,m∈N*）有何关系？an=a1qn-1am=a1qm-1mnmnqaa*mnmnNm,nqaa可得*636333323:,1622222nmnmnnnnaaqnmNaaqqqaaq另解例2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求13465753:,10,,4naaaaaaa例已知等比数列求的值。世界杂交水稻之父—袁隆平从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻”，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。接轨生活例4：袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为na5,120,1201nqa其中155120120a因此10105.2答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.解：生活应用数列等差数列等比数列定义公差（比）通项公式引申0qqaa,2n1nn1n1nqaamnmnqaadaa,2n1nnd)1n(aa1nd)mn(aamnRd公差0q公比类比小结等比数列的概念及通项公式函数与方程的思想类比知识内容研究方法思想方法小结P53习题2.4A组第1题B组第1题作业