3.2.3 二次函数模型

函数函数函数函数3.2.3二次函数模型cbxaxy20a二次函数的一般形式：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项．(1)y=2x2＋3x-1；(2)y=x＋；(3)y=3(x-1)2+1；(4)y=(x+3)²-x²；(5)s=3-2t²；(6)v=4r²．x1√√√√××在同一坐标系中，作出下列函数的图象：2xy22xy23xy23xy2xy22xy解：列表2.252.2510.2500.251y=x21.510.50-0.5-1-1.5x…………2xy。。。。。。。；；；；；．2xy2xy22xy23xy22xy23xy函数的图象，当时开口．当时开口,对称轴是，顶点坐标是．函数是函数．0aa越大，开口越．观察右图并完成填空：2xy2xy22xy23xy22xy23xy2axy0a向上向下y轴(0,0)小偶附注以上图象变化过程可在主界面单击“y＝ax^2的图象.gsp”文件观看.例1研讨二次函数的性质与图象．6421)(2xxxf解(1)配方：128216421)(22xxxxxf12164212x2)4(212x由于对任意实数x，都有，所以0)4(212x.2)(xf性质：1.在x=-4时，函数取最小值-2．记为2miny2.点(-4，-2)是抛物线的顶点．并且，当x=－4时取等号，即f(－4)=－2．例1研讨二次函数的性质与图象．6421)(2xxxf解(2)当y=0时，064212xx01282xx解得x1=－6，x2=－2．故该函数图象与x轴交于两点(－6，0)，(－2，0)．(3)列表作图．以x=-4为中间值，取x的一些值，列出这个函数的对应值表．x…-6-5-4-3-2…f(x)……-1-72.50-1.5-2-1.502.5观察上表或图形：1.关于x=-4对称的两个自变量对应的函数值有什么特点？相同y-1-2-3-4-5-6-7Ox-1-2-332112x…-6-5-4-3-2…f(x)……-1-72.50-1.5-2-1.502.5y-1-2-3-4-5-6-7Ox-1-2-3321122.-4-h与-4＋h(h＞0)关于x=-4对称吗？分别计算-4-h与-4＋h的函数值，你能发现什么？)4()4(hfhf列表作图．以x=-4为中间值，取x的一些值，列出这个函数的对应值表．x…-6-5-4-3-2…f(x)……-1-72.50-1.5-2-1.502.5y-1-2-3-4-5-6-7Ox-1-2-332112性质：3.对称轴为直线x=-4.4.在(-∞，-4]上是减函数.在[-4，+∞)上是增函数．列表作图．以x=-4为中间值，取x的一些值，列出这个函数的对应值表．抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值单调性直线x=-４向上当x=-４时,最小值为-2在（-∞，-4]上是减函数，在[-4，+∞）上是增函数yx2)4(212xy(-4，-2)o用配方法求函数f(x)=3x2＋2x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．解：1323123)(22xxxxxf191913232xx32)31(32x,函数图象的对称轴是直线，31x所以3231minfy31,它在区间上是减函数，,31在区间上是增函数.例2研讨二次函数的图象与性质．34)(2xxxfxy=-x^2-4x+3-6-9-5.5-5.25-5-2-4.50.75-43-3.54.75-36-2.56.75-27-1.56.75-16-0.54.75030.50.751-21.5-5.252-9y=-x^2-4x+3-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678-7-6-5-4-3-2-10123xy附注例2函数图象演示过程可在主界面单击“二次数.gsp”文件观看.a=b=c=y=ax2+bx+c的图象建立坐标系画图象清除图象000+1-1+1-1+1-1抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值单调性向上向下yxyx0a0aabacabxay44222直线abx2直线abx2)44,2(2abacab)44,2(2abacab当时，最小值为abx2abac442当时，最大值为abx2abac442在（-∞，]上是减函数，ab2在[,+∞）上是增函数ab2在（-∞，]上是增函数，ab2在[，+∞）上是减函数ab2OO抛物线性质3-2Oxy-6(1)x取哪些值时，y＝0；例3已知二次函数y=x2－x－6，说出：解：(1)求使y=0的x的值，即求二次方程x2－x－6=0的所有根．解得x1=-2，x2=3．方程的判别式=(-1)2-4×1×(-6)=25＞0，(2)x取哪些值时，y＞0；x取哪些值时，y＜0．例4已知二次函数y=x2－x－6，说出：解：(2)画出函数简图，图象的开口向上．从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(-2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段．所以当x(-2，3)时，y＜0；当x(-∞，-2)∪(3，+∞)时，y＞0.3-2Oxy-6下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0．；87)1(2xxy.82)2(2xxy＞0＝0＜0抛物线方程的解集的解集cbxax2y02cbxax02cbxax02cbxaxyxo)(21xx，1xxRxR∪)1x，），2(xyx1x2xoyx1(x2)xo）（0a一元二次方程，二次不等式与二次函数的关系有两个不等实根x1,x2有两个相等实根x1＝x2没有实数根1.抛物线性质（表格）.2.一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系（表格）.教材P84，练习A组第1、2题；练习B组第3题．