中国古代数学的主要成就

第二节中国古代数学的主要成就周髀算经《周髀算经》是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方法。《周髀算经》也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。李约瑟认为：“最妥善的办法是把《周髀算经》看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”勾股定理昔者周公问于商高曰：“窃闻于大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”勾股定理《周髀算经》中荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，…”《周髀算经》主要是以文字形式叙述了勾股算法。中国古代最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽（公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》作注时，所作的“勾股圆方图注”中给出了“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。弦图《周髀算经》还记载了商高的用矩之法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”九章算术《九章算术》成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对《九章算术》作过注。特别是刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。《九章算术注》是《九章算术》得以流芳百世的重要补充和媒介。九章算术日本数学家小苍金之助把《九章算术》说成是中国的《几何原本》。吴文俊教授也认为，《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的《几何原本》东西辉映，各具特色。《九章算术》全书共分9章，246道题，体例采用问题集形式。第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，38个问题。[一]今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。[二]又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。[五]今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。[六]又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出现。第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。开方术今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契的《算经》一书中专门有一章讲“契丹算法”。方程术第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在《九章算术注》中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”方程术今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？正负术正负数的加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”“同名、异名”指“同号、异号”，“相除、相益”指“绝对值相减、相加”。前4句是减法规则，后4句是加法规则。李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。勾股术第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。刘徽的数学成就刘徽，公元3世纪魏晋时人，于公元263年撰《九章算术注》。该书包含了刘徽本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发将边数逐次加倍，计算每次得到的正多边形周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192边形，得到圆周率约为3.14124，其精确到小数点后两位的近似值3.14=157/50，被称为“徽率”。刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是“出入相补原理”：一个几何图形被分成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。刘徽利用这条原理成功地证明了《九章算术》中的许多面积公式。刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马”（一种特殊的四棱锥）体积公式便是用极限方法推导出来的，而球体积公式的推导则使用了不可分量方法。为计算球体积公式，刘徽将两个等边圆柱垂直相交时的公共部分称为“牟合方盖”，并证明了球体积与其外切的牟合方盖的体积比是π/4。但他未能求得牟合方盖的体积。祖冲之的数学成就祖冲之（公元429—500）活跃于南朝宋、齐时代，出生于历法世家，本人做过南徐州（镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数不多能名列正史的数学家之一。祖冲之最大的数学成就是对圆周率的精确计算。得出了圆周率的上限3.1415927（盈数），下限3.1415926（肭数）。另外还得出了圆周率的两个分数形式的近似值约率22/7，和密率（祖率）355/113。史料上没有关于祖冲之推算圆周率方法的记载，一般认为是沿用了刘徽的“割圆术”。刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192边形，得到圆周率约为3.14124，如果用这一方法算到圆内接正24576边形，便得到圆周率在3.1415926和3.1415927之间。祖冲之在圆周率的计算方面领先于西方近千年。为了纪念祖冲之的贡献，20世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之的名字命名。从东汉以来，有关球体积的计算公式，经过张衡、刘徽等人的努力，最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成，成为中国数学史上的一件大事。祖氏父子的这一成就，被唐代李淳风记录在自己的《九章算术注》中，才使人们得以了解其具体的研究方法。祖氏父子利用“两等高几何体，若在任意同一高度上的截面积均相等，则它们的体积相等”这一原理，求得牟合方盖的体积，然后利用刘徽的结果，得到了球体积公式。祖暅还明确总结出了“幂势既同，则积不容异”这样一条求积原理。该原理现被称为“祖暅原理”。事实上，刘徽也使用过这一原理，只是未能将其概括为一般形式。这一原理在西方被称为卡瓦列里原理，但他17世纪前叶才提出，比祖暅迟了1100多年。算经十书出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元656年由李淳风负责编定了算经十书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《夏候阳算经》、《缉古算经》、《海岛算经》、《五经算术》和《缀术》，后因《缀术》失传，而以《数术记遗》替代。孙子算经[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。[物不知数]今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。孙子歌明代数学家程大位的《算法统宗》中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩余定理”。宋元数学宋元时期（960-1368）的杰出数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元四大家”。宋元时期的数学代表著作有《数书九章》（秦九韶）、《详解九章算法》（杨辉）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鉴》（朱世杰）等大衍总数术问题：求满足的最小自然数N。◆设，求乘率使则总数1122(mod)(mod)......(mod)nnNrprprpiMp/iiMMp111222(mod)nnnNMMrMMrMMrpiM1(mod)iiiMMp中国剩余定理秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。西方数学的传入《四元玉鉴》是中国古代数学的绝唱，明代以后中国数学逐渐衰弱。而当16、17世纪，近代数学在欧洲蓬勃兴起的时候，中国数学就更加明显地落后了。西方数学的传入从明朝开始。1602年（明万历34年），利玛窦与徐光启合译了《几何原本》前6卷，几何、三角、对数等传入国内。徐光启对《几何原本》的评价极高：“此书为益，能令学理者祛其浮气、练其精心，学事者资定其法、发其巧思，故举世无一人不当学。”“此书有四不必，不必疑、不必揣、不必试、不必改。”元代中期数学高峰过后，由于社会制度等种种原因，数学发展速度减慢，有的数学领域（如天元术）甚至出现中断、失传现象。虽然西方初等数学传入，但发展速度却大大落后于同时代突飞猛进的欧洲各国。而西方现代数学的传入则是从清朝才开始的。对此作出重要贡献的是李善兰和华衡芳等人。李善兰（1811—1882），浙江海宁人，是中国近代著名数学家。李善兰的著作有《方圆阐幽》、《古昔斋算学》、《考数根法》、《垛积比类》等；译作有《代微积拾级》、《代数学》、《几何原本》后9卷，《圆锥曲线说》等。李善兰发明的“尖锥术”、“垛积术”具有独创性。1859年李善兰与英国传教士伟烈亚力（Wylie）合译《几何原本》后9卷，及《代微积拾级》，创立的一些中文数学名词影响深远，如：代数学、微分、积分、曲率、极大、无穷、级数、方程、根等。清政府于1862年创办京师同文馆。这是中国历史上的第一所新学堂，开始只学外语和汉语，1867年设天文算学馆，1868年聘李善兰为算学总教习。学习内容包括：代数学、几何原本、三角学、微积分等。