《正方形的性质》PPT课件

9.4（5）正方形一个角是直角操作平行四边形正方形一组邻边相等1.正方形的定义：认识正方形ABCD在□ABCD中∵AB=BC，∠A=90°∴□ABCD是正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。矩形菱形正方形判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形平行四边形，矩形，菱形，正方形有怎样的关系？平行四边形矩形菱形正方形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形是一个特殊的平行四边形.正方形形具有平行四边形的所有性质.正方形有哪些性质?正方形还是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性质正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。正方形的性质=性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=ODADCBO正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD观察思考：正方形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴？观察思考：正方形是中心对称图形吗?性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形图形所具有的性质,在下表相应的空格中贴上平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等对角相等中心对称轴对称1、有一个角是直角的是正方形。有一组邻边相等的是正方形。（）A、矩形菱形B、菱形平行四边形C、平行四边形矩形D、菱形矩形D2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是。A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、对角线平分一组对角C3、菱形、矩形、正方形都具有的性质是。A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、对角线平分一组对角B4、正方形的边长是a，则周长为，面积为。（）A、4aa2B、2aa2C、a24aD、a24aA5、正方形的边长是6，则其对角线长为。A、B、C、D、6261272c6、四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠ADE=。A、55°B、65°C、75°D、85°CEACDB60°30°8.如右图，正方形ABCD中，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是°．7.如左图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为是°．22.515ABCDE如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，点F在BC的延长线上，且AE=CF,试探究DF与DE的关系并说明理由例1.∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°.解：∵四边形ABCD为正方形，∵AE=CF，∴DF⊥DE，∴△AED≌△CFD（ASA）.∴∠1=∠2,DE=DF.又∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，即∠EDF=90DE=DF.DE⊥DF，例2.如图，正方形ABCD中，对角线交于点O，E是OC上一点，AG⊥BE于G，交OB于点F，求证：OE=OFADBECGFO正方形的判定方法有哪些？说一说可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.正方形的判定方法(2)一组邻边相等的矩形是正方形.(3)有一个角是直角的菱形是正方形.(1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.例3如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形是正方形.A'B'C'D'证明∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=DA.∴D′A=A′B=B′C=C′D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.∴四边形是菱形.A'B'C'D'又∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠D′A′B′=90°.∴四边形是正方形.A'B'C'D'1.一个矩形的两条对角线互相垂直，证明这个矩形是正方形。2.一个菱形的两条对角线相等，证明这个菱形是正方形。细心练一练1.判断下列说法是否正确（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线相等的菱形是正方形（3）对角线互相垂直的矩形是正方形（4）有一个角是直角的平行四边形是正方形（5）四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形（6）有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形（7）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形√√√×√√√细心练一练2.如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为得到一个正方形,裁剪线与折痕所成的角α的度数应为()A.60°B.30°C.45°D.90°CBECAFD3.如图，△ABC中,∠ABC=90°，BD平分∠ABC,DE⊥BC，DF⊥AB,垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角平行四边形菱形正方形矩形总结训练提高1.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.530°2.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.PABCDEFOEABCD3.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求证：AP=EFABCDPEF证明:连接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵AD=CD∠ADP=∠CDP=45°PD=PD(公共边)∴AP=PC∴AP=EF∴△ADP≌△CDP(SAS)练习：如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG解：∵四边形ABCD是正方形根据正方形的四边相等，得AD=CD又知四边形DEFG也是正方形∴DE=DG又∵正方形的每个内角为90°∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC∴∠ADE＝∠CDG∴AE=CGABCDEFG∴△ADE≌△CDG。(SAS)----下列说法对吗?（1）四个角都相等的四边形是正方形（2）四条边都相等的四边形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形（6）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形(7)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形(8)正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴