物理竞赛专题六：递推法

-1-高中奥林匹克物理竞赛解题方法六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况.即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式.具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论.再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解.用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.塞题精析例1质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程.解析根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.（1）物质在某时刻t末的速度为atvt2t末的速度为atatvatvvttt2,222所以3t末的速度为atatatatvvtt32322……则nt末的速度为natvvtnnt)1()321()1(32natnatatnatatatatnnnnat)1(21)1(21（2）同理：可推得nt内通过的总路程.)12)(1(1212atnnns例2小球从高mh1800处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小)2(1nn，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）解析小球从h0高处落地时，速率smghv/60200-2-第一次跳起时和又落地时的速率2/01vv第二次跳起时和又落地时的速率2022/vv第m次跳起时和又落地时的速率mmvv2/0每次跳起的高度依次40222202112,2nhgvhnhgvh，通过的总路程mhhhhs222210mhnnhnhhnnnnhhm300351112)1111(202202002242200经过的总时间为mttttt210sgvnngvnngvgvgvgvmm183)11(])1(2121[2200010例3A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.……-3-设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇.tvnaatvatvaatvatvaatvaBBAAaan23,23323,23223,2360cos2312111因为,023tvna即vatttn32所以此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有2121)(mvsmgF拉第一节车厢时：11)(mvvmm故有sgmFvv)(214121212122221221)2(vmmvsmgF拉第二节车厢时：222)2(mvvmm故同样可得：sgmFvv)35(32942222……-4-推理可得sgnmFnnvn)312(12由mgnFvn312:02可得另由题意知46,31nmgF得因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.例5有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgdW2将第3、4、…、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为dnmgWdmgWdmgWdmgWn)1(432543所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+…+Wn2)1()1(32nnmgddnmgdmgdmgmgd例6如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片1(iBAii、2、…、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）.将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力.解析本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、…、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、…A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1.选碗边B点为轴，根据力矩平衡有-5-2,211iiiiNNLNLN得所以65321)21(212121NNNN①再以A6B6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg.选B6点为轴，根据力矩平衡有LNLmgLN61432由①、②联立，解得421mgN所以，A1B1薄片对A6B6的压力为.42mg例7用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为)4/(Lhh的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值.解析为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为21Lx第2块相对第3块的最大伸出量为2x（如图6—4所示），则224)2(222LLxGxLxG同理可得第3块的最大伸出量323Lx……最后归纳得出nLxn2所以总跨度hxknn32.11291-6-跨度与桥孔高的比值为258.1932.11hhHk例8如图6—5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为3,2,1(nn…）.每人只有一个沙袋，0x一侧的每个沙袋质量为m=14kg，0x一侧的每个沙袋质量kgm10.一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍.（n是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速0v沿正x轴方向运动，经过第1个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以0022vnvu的水平速度扔到车上，由动量守恒得,)(2100vmMvmMv当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度1142vnvu的水平速度扔到车上，同理有211)2(2)(vmMnvmvmM，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为nv，根据动量守恒有111)1(,)(2])1([nnnnnvnmMmnMvvnmMmvnvmnM即.同理有nnvmnMmnMv)1()2(1，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有.0,01nnvv即.0)2(,0)1(mnMmnM由此两式解得：nnn,1420,1438为整数取3.当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n个人身旁，抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有：nnnvmnmMnvmvmnmM)3(2])1(3[11解得：nnnnvmnmMmnmMvvmnmMmnmMv)1(3)2(33)1(311同理-7-设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求0,01nnvv即870)2(30)1(3nnmnmMmnmM解得即抛上第8个沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.例9如图6—6所示，一固定的斜面，倾角45，斜面长L=2.00米.在斜面下端有一与斜面垂直的挡板.一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零.下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞.已知质点与斜面间的动摩擦因数20.0，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.解析因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系：sin)()(cos2121ssmgssmgsin)()(cos3232ssmgssmg即有32cossincossin2312ssss由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为.32∴在发生第11次碰撞过程中的路程11321222sssss1111111321321])32(1[2)(2sssssss)(86.9)()32(121011mm例10如图6—7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1.小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计.开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速2/0Rv沿槽运动，R为圆环的内半径和-8-小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T.解析当m1与m2发生弹性碰撞时，由于m2=2m1，所以m1碰后弹回，m2向前与m3发生碰撞.而又由于m2=m3，所以m2与m3碰后，m3能静止在m1的位置，m1又以v速度被反弹，可见碰撞又重复一次.当m1回到初始位置，则系统为一个周期.以m1、m2为研究对象，当m1与m2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：221101vmvmvm①222211201212121vmvmvm②由①、②式得：002112002121132231)(vvmmmvvvmmmmv以m2、m3为研究对象，当m2与m3发生弹性碰撞后，得032203vvv以m3、m1为研究对象，当m3与m1发生弹性碰撞后，得0130vvv由此可见，当m1运动到m2处时