湘大09级数理统计试卷及答案

湘潭大学研究生09级试卷及答案第1页共4页09级数理统计试卷及答案1、已知(X,Y)的联合密度函数其他,0＜y＜0,),(xeyxfx，(1)求X,Y的边缘密度函数，并验证独立性；/*第一章p7-p8，与04级一.（1），06级第一题同类型*/(2)求条件密度fx|y(x|y);/*p8-p9*/(3)求条件期望E（X|Y=0.5）。/*p16,与08级第一题同类型*//*注意积分区间，分情况取值*/解：1）∞∞x0x-0﹤y﹤x0,ey)dyf(x,)(，其他xxxedyxf∞∞∞yx-y0﹤y﹤x0,ey)dxf(x,)(，其他yedxyf其他,0＜y＜x0,)()()(yxYXxeyfxf),()()(yxfyfxfYX，则X与Y不相互独立2）其他,0＜y＜x0,)(),()|(|xyYYXeyfyxfyxf3）5.1xexe)y|x(xf)(fy)f(x,x5.0|∞∞5.0x-0.5x-y∞∞Y|X∞∞YydxdxdxdxyYXE）（2、设X1,X2,....,Xn是来自总体X~B(1,p)的样本，试证明:（1）i=1niX是参数p的充分完备统计量；/*课本p36,p38,p39同课本例2.4.8，二项分布，与07级第3题同类型，与08级第三题同类型*/（2）i=1niX是参数np的无偏估计。/*第三章p45，同07级第4题（3）类型，同10级第3题（1）类型，同13级第4题类型*/证明：样本X1,X2,....,Xn的联合概率函数为:2）niiniiniinixnpxExEnnxnnExE1111)()(1)1,()(，是参数np的无偏估计。湘潭大学研究生09级试卷及答案第2页共4页3、设总体X的概率密度为其他,0＜1＜0,)(1xxaxfa，其中a0为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，试求a的矩估计和极大似然估计。/*第三章p47-p48*/解：1xf(x))(101＋∞∞10aadxxadxxaxxEaa，则212∧1111212∧ln,0ln212)(ln,ln)1(ln2)(ln,),()(,)x1x(x1niiniiniinianniixnaxaandaaLdxaanaLxaaxpaLaaai4、设某班的数理统计的考试成绩服从正态分布N(μ,49)，先从该班随机抽取了9名同学，成绩分别为75,78,80,81,84,86,88,90,93,/*与12级第4题与同类型*/（1）求μ的置性度为0.95的区间估计；/*课本p62*/（2）能否接受μ=82（α=0.05）。/*第三章p75同13级第五题*/解：1）,96.1uu,7σ49σ,89.83,905.02α020xn由0σσ已知，采用U估计，对应于置信概率为0.95，总体均值U的置信区间为)uσ,uσ(2α02α0nxnx46.881.96×9789.83uσ79.321.96×97-89.83uσ2α02α0nxnx，μ的置信度为0.95的区间估计为(79.32,88.46)2），82μ:82μ:10HH由0σσ已知，采用U检验法：，2α0u＜81.09/78289.8nσ/μxU接受0H,即接受82μ5、对某种作物用甲乙丙三种不同的肥料进行耕作实验，每种肥料做3次实验，实验结果（收获量）如下：甲674552乙695045丙648170设各种肥料下的作物收获量服从正态分布且方差相等，试问在显著性水平0.05下，各种肥料对收获量有无显著差异？/*第四章p109-p112，与10级第六题同类型*/解：由题意可得下表：甲乙丙湘潭大学研究生09级试卷及答案第3页共4页167696424550813524570总均值水平均值54.754.771.760.4合计SST350.14418.14531.741300SSE252.67320.67148.67722SSA97.4797.47383.07578r=3n=9方差来源总离差平方和df均方差MSF值组间57822892.4017组内7226120.3333总方差13008临界值＞F14.5)6,2(05.0F，故应接受原假设，即认为各种肥料对收获量无显著性差异。6、设x与y满足如下关系y=a+bx+ε,ε~N(0,σ2),其中a、b和σ2都是与x无关的未知参数。假设已知变量x与y的对相互独立的实验数据（xi,yi）(i=1,2,…,n)，试求a、b的最小二乘估计及σ2的矩估计。/*p92-p93*/解：（1）记，）（21)(,niiibxaybaQ对),(baQ关于ba,求一阶偏导数，并令它们等于0，得niiiiniiixbxaybQbxayaQ110)(20)(2，若记niiniiynyxnx111,1，则可整理为：nixiiiiyxbxaxnybxnna112解此方程组，得ba,的最小二乘估计为湘潭大学研究生09级试卷及答案第4页共4页niiniiininiiixxyyxxxbyaxnxyxnyxbi121∧∧1221∧)())(((2)由(1)知,b∧∧xya又,b∧∧∧xay，所以),(b∧∧xxyy，由于22σ)ε()ε(DE，而iiiiixbayyy∧∧∧ε，则2σ的矩估计为212∧12212∧1∧1221∧12∧2∧12∧∧2∧)(-1)()(2-1)(1)(1σ,)(1σniiniiniiniiiniiniiiniiiniiixxbyynxxbxxyybyynxxbyynyynxbayn）（）（）（距距7、设有两个不同的p维总体G1和G2，数学期望分别为μ1，μ2，如果两总体的协方差矩阵相等为∑，试利用马氏距离建立判别函数，给出相应的判别规则。/*第七章*//*同07级第8题解法p138-p139，与08级第7题同类型*/8、试根据逆变换法求具体密度函数f(x)=0.5x(0≤x≤2)的随机数。/*p153第八章不考*/