含参函数专练

kμspace出品含参函数专练1．已知函数32()fxxaxbxc，过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为31yx．（1）若函数()fx在2x处有极值，求()fx的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数()yfx在[－3，1]上的最大值；（3）若函数()yfx在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．2．已知函数()fxx，()lngxax，aR．（1）若曲线()yfx与曲线()ygx相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数()()()hxfxgx，当()hx存在最小值时，求其最小值φ．kμspace出品3．设0a，函数3()fxxax在［1，＋∞）上是单调函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设01x，()1fx，且00(())ffxx，求证：00()fxx．4．已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围．5．已知函数y=3223txttxx在(－1，3)上单调递减，求t的取值范围．kμspace出品含参函数专练参考答案1．已知函数32()fxxaxbxc，过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为31yx．（1）若函数()fx在2x处有极值，求()fx的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数()yfx在[－3，1]上的最大值；（3）若函数()yfx在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．解析：（1）由32()fxxaxbxc，求导数得2()32fxxaxb，过()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为：(1)(1)(1)yffx，即(1)(32)(1)yabcabx而过()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为31yx，故3023323cabacaba即∵()yfx在2x时有极值，故(2)0f，∴412ab③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴32()245fxxxx（2）2()344(32)(2)fxxxxx当32x时，()0fx；当223x时，()0fx；当213x时，()0fx∴()(2)13fxf极大，(1)4f，∴()fx又在[－3，1]上最大值是13．（3）()yfx在[－2，1]上单调递增，又2()32fxxaxb，由①知20ab．依题意()fx在[－2，1]上恒有()fx≥0，即2320xaxb①当16bx时，min()(1)30fxfbb，∴6b；②当26bx时，min()(2)1220fxfbb，∴b；③当216b时，2min12()012bbfx，则06b综上所述，参数b的取值范围是［0，＋∞）注：可用分离参数法①②kμspace出品2．已知函数()fxx，()lngxax，aR．（1）若曲线()yfx与曲线()ygx相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数()()()hxfxgx，当()hx存在最小值时，求其最小值φ．分析：首先分析对于（1）已知曲线()yfx与曲线()ygx在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程，考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线相等求出a，最后由直线上一点及斜率求出直线方程即可．对于（2）设函数()()()hxfxgx，当()hx存在最小值时，求其最小值φ；首先解出()hx的函数表达式，要求最值考虑到应用函数的导函数的性质，先求出()hx的导函数()hx，再分类讨论当0a和0a时的情况求出极小值即可．解析：（1）已知函数()fxx，()lngxax，aR．则：1()2fxx，()agxx（0x），由已知曲线()yfx与曲线()ygx在交点处有相同的切线，故有lnxax且12axx，解得2ea，2xe，∵两条曲线交点的坐标为（2e，e），切线的斜率为21()2kfee，所以切线的方程为21()2yexee；（2）由条件知()lnhxxax（0x），∴12()22axahxxxx①当0a时，令()0hx，解得24xa，所以当204xa时()0hx，()hx在（0，24a）上递减；当24xa时，()0hx，()hx在（0，24a）上递增．所以24xa是()hx在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()hx的最小值点．所以22()(4)2ln(4)2(1ln(2))ahaaaaaa②当0a时，()lnhxxax（0x），()hx在（0，+∞）递增，无最小值．综上知，()hx的最小值()a的解析式为2(1ln(2))aa（0a）．点评：此题主要考查利用导函数求区间极值的问题，这类综合性的题考查学生对综合知识的运用，所以学生要熟练掌握函数的基础知识．kμspace出品3．设0a，函数3()fxxax在［1，＋∞）上是单调函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设01x，()1fx，且00(())ffxx，求证：00()fxx．解析：（1）2()3yfxxa，若()fx在［1，＋∞）上是单调递减函数，则须0y，即23ax这样的实数a不存在．故()fx在［1，＋∞）上不可能是单调递减函数．若()fx在［1，＋∞）上是单调递增函数，则23ax，由于x［1，＋∞），故233x．从而03a．（2）设0()fxu，则0()fux，∴300xaxu，30uaux，两式相减得33000()xuaxuux，∴22000()(1)0xuxxuua，∵01x，1u，∴2200xxuu，又03a，∴220010xxuua，∴0xu4．已知函数3211()(2)(1)(0)32fxxaxaxa．（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围．解析：（1）2()(2)1(1)(1)fxxaxaxxa．①0a当时，2()(1)0fxx恒成立，当且仅当1x，时取“=”号，()(,)fx在单调递增．②12120,()0,1,1,afxxxaxx当时由得且，单调增区间为(,1),(1,)a，单调减区间为(1,1)a（2）()[0,1]fx在上单调递增，则0,1是上述增区间的子集：①当0a时，()(,)fx在单调递增，符合题意②当0a时，0,11,a，10a1a综上，a的取值范围是[0，1]．a-1-1()fxkμspace出品5．已知函数y=3223txttxx在(－1，3)上单调递减，求t的取值范围．解析：∵y=3223txttxx，∴y=2223ttxx=))(3(txtx，函数y=3223txttxx单调递减，即y＜0，由y=))(3(txtx＜0，当t＞0时，3t＜x＜t；t＜0时，t＜x＜3t．故函数y的单调区间，当t＞0时，为),3(tt；当t＜0时，为)3,(tt．故要使函数y在(－1，3)上单调递减，须满足(－1，3)),3(tt或(－1，3))3,(tt，即3130ttt或3310ttt，解得，t≥3或t≤－9．故t的范围是(－∞，－9]∪[3，+∞）．