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第第33章章动量守恒定律和动量守恒定律和能量守恒定律（能量守恒定律（11））大学物理大学物理3.1质点和质点系的动量定理3.2动量守恒定律3.3动能定理3.4保守力与非保守力势能3.5功能原理机械能守恒定律3.6能量守恒定律3.9质点的角动量定理和角动量守恒定律大学物理大学物理3.13.1质点和质点系的动量守恒质点和质点系的动量守恒3.23.2动量守恒定律动量守恒定律**变变质量问题质量问题火箭飞行火箭飞行（1）大学物理大学物理复习惯性系惯性系非惯性系非惯性系用牛顿定律解动力学问题amFvv='FFma+=vvv惯受力分析、列方程、求解讨论受力分析、列方程、求解讨论大学物理大学物理问题的提出amFvv=dtvdmFvv=vmddtFvv=力作用了力作用了一段时间一段时间力作用了力作用了一段位移一段位移动量定理动量定理动能定理动能定理动量守恒定律动量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律vdvmrddtvdmrdFvvvvvv⋅=⋅=⋅大学物理大学物理3.1质点和质点系的动量定理一、动量冲量质点的动量定理122121vmvmvmddtFvvttvvvvvv−==∫∫mFv1vv1t，2vv2t，单位：速度方向smkg/⋅单位：方向：sN⋅11、动量、动量vmPvv=∫=21ttdtFIvv22、冲量、冲量方向：大学物理大学物理讨论：冲量的方向？讨论：冲量的方向？∫=21ttdtFIvvnttFndttFdtntFIttttvvvv⋅−=⋅⋅=⋅⋅=∫∫)())(()(122121①①..若若为恒力，为恒力，Fv则则，即，即与与同向。同向。)(12ttFI−=vvIvFv②②..若若大小变化，方向不变，则大小变化，方向不变，则FvF)(tFt1t2t积分中值定理积分中值定理即即与与仍同向。其中仍同向。其中为平均冲力，其方向与为平均冲力，其方向与同向。同向。IvFvFvIv大学物理大学物理)(12ttF−v③③..若若为变力，则冲量与外力的方向一般不同。为变力，则冲量与外力的方向一般不同。PIvvΔ=1Pv2PvIv∫=21ttdtFIvv两边微分dtFIdvv=Idv④④..由由，则有冲量的方向与动量增，则有冲量的方向与动量增量方向相同。量方向相同。PPPIvvvvΔ=−=12Fv⑤⑤..若若为变力，仍有为变力，仍有Fv)(1221ttFdtFItt−==∫vvv其中其中为平均冲力，其方向与冲量方向相同，而与为平均冲力，其方向与冲量方向相同，而与方向一般不同。方向一般不同。FvFv大学物理大学物理③③..冲量冲量是物体运动状态改变的原因。是物体运动状态改变的原因。说明：说明：①①..冲量冲量描述的是力对时间累积效应的物理量，是个过程量。描述的是力对时间累积效应的物理量，是个过程量。②②..动量动量描述的是物体运动状态的物理量，是个状态量。描述的是物体运动状态的物理量，是个状态量。④④..动量动量反映了物体对其他物体施加作用力的能力的大小。反映了物体对其他物体施加作用力的能力的大小。比如一只比如一只0.450.45千克的鸟，撞在千克的鸟，撞在速度为每小时速度为每小时960960千米的飞机千米的飞机上，那就要产生上，那就要产生21.621.6万牛顿的万牛顿的力，产生的冲击力比炮弹的力，产生的冲击力比炮弹的冲击力还要大。所以浑身是肉冲击力还要大。所以浑身是肉的鸟儿也能变成击落飞机的的鸟儿也能变成击落飞机的““炮弹炮弹””。。大学物理大学物理说明说明物体所受合外力的冲量，等于物体动量的增量物体所受合外力的冲量，等于物体动量的增量————动量定理。动量定理。33、质点的动量定理、质点的动量定理PPPIvvvvΔ=−=12②②..动量定理的分量式：动量定理的分量式：xxmvmvdttFIttxx1221)(−==∫yymvmvdttFIttyy1221)(−==∫zzmvmvdttFIttzz1221)(−==∫xx方向的冲量为方向的冲量为xx方向的动量的增量方向的动量的增量①①..冲量是合外力的冲量。它是个矢量，其方向与动量冲量是合外力的冲量。它是个矢量，其方向与动量的增量方向相同，而和外力的方向未必相同。的增量方向相同，而和外力的方向未必相同。大学物理大学物理③③..用动量定理处理碰撞和打击问题十分简单。用动量定理处理碰撞和打击问题十分简单。④④..动量定理可处理变质量问题（如火箭飞行）。动量定理可处理变质量问题（如火箭飞行）。根据动量定理有：根据动量定理有：解：解：12PPIvvv−=∫=21ttdtFIvv2Pv=2vmv=2vv=所以：所以：2vviv320=iv320=∫⋅+=202)2(dtittv大学物理大学物理例例11、、质量为质量为m=1.0kgm=1.0kg的的物体在物体在NN的力的力作用下运动作用下运动,t=0,,t=0,。求。求t=2s,t=2s,ittFvv)2(2+=01=vv?2=vvkjivvvvv4321++=问题：如果例例22、、质量为质量为2.5g2.5g的乒乓球以的乒乓球以1010m/sm/s的速率的速率飞来，被板飞来，被板子子推挡后，又以推挡后，又以2020m/sm/s的速率的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为内，且它们与板面法线的夹角分别为4545oo和和3030oo，，求：（求：（11）乒乓球得到的冲量；（）乒乓球得到的冲量；（22））若撞击时间为若撞击时间为0.010.01ss，，求板施于球的平均求板施于球的平均冲力。冲力。45o30onv2v1Oxy12vmvmIvvv−=取如图所示的直角坐标系，则上式取如图所示的直角坐标系，则上式的分量形式为：的分量形式为：解：解：（（11）取挡板和球为研究对象，由于）取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。则根据动作用时间很短，忽略重力影响。则根据动量定理有：量定理有：732.13=大学物理大学物理45o30onv2v1OxysNmvmvmvmvIxxx⋅=−=−=061.0135cos30cos1212oosNmvmvmvmvIyyy⋅=−=−=007.045cos30sin1212oo所以所以乒乓球得到的冲量为：乒乓球得到的冲量为：jijIiIIyxvvvvv007.0061.0+=+=大学物理大学物理)(12ttFI−=vv则有挡板对球的平均冲力为：则有挡板对球的平均冲力为：jijittIFvvvvvv7.01.601.0007.0061.0)(12+=+=−=大学物理大学物理（（22）设挡板对球的平均冲力为）设挡板对球的平均冲力为，由：，由：Fv问题：乒乓球对挡板的冲量是多少？Iv−球板板球FFvv−=∫∫−=2121ttttdtFdtF球板板球vv球板板球IIvv−=二、质点系的动量定理1、两个质点的情况()1011112121vmvmdtFFttvvvv−=∫＋2112FFvv−=()2022221221vmvmdtFFttvvvv−=∫＋大学物理大学物理()())()(20210122112112212121vmvmvmvmdtFFdtFFttttvvvvvvvv+−+=∫∫＋＋＋())()(20210122112121vmvmvmvmdtFFttvvvvvv+−+=∫＋即：由两个质点组成的质点系，其所受合即：由两个质点组成的质点系，其所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。外力的冲量等于系统总动量的增量。大学物理大学物理2、多个质点的情况∑∑∫∑∫∑====−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛niiiniiittniittniivmvmdtFdtF101112121vvvv内外＋∑==niiF00内v∑∑∫==−=niiiniiittvmvmdtF10121vvv合外力0PPIvvv－＝即质点系所受合外力的冲即质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的增量量等于系统总动量的增量————质点系的动量定理质点系的动量定理大学物理大学物理000zzzyyyxxxPPIPPIPPI－＝－＝－＝说明：①①..分量式为：分量式为：②②..系统内力会改变系统内的动量系统内力会改变系统内的动量分布分布，但不改变系统，但不改变系统的的总动量总动量，只有外力才对系统的动量有贡献。，只有外力才对系统的动量有贡献。③③..适用于惯性系。适用于惯性系。大学物理大学物理例例33、、质量均匀分布的长为质量均匀分布的长为LL质量为质量为mm的的链条铅直地悬挂，下端触地。如果链链条铅直地悬挂，下端触地。如果链条上端突然断开，计算链条下落的过条上端突然断开，计算链条下落的过程中，任一时刻作用于地面的压力。程中，任一时刻作用于地面的压力。Loxx分析：分析：当链条下落高度为当链条下落高度为xx时，其对时，其对地面的作用力为：地面的作用力为：设设ddtt时间内，时间内，有长为有长为ddxx的的一段一段链条以速度链条以速度vv落到地面落到地面上，地面对它的作用为上，地面对它的作用为FF′′，，则由动量定理：则由动量定理：解：解：=N链条已落地部链条已落地部分的重力分的重力GG12+触地部分触地部分的冲力的冲力FFvdxLmdtF⋅−=−0'大学物理大学物理则链条对地面的冲力则链条对地面的冲力FF与与FF′′大小相等方向相反。大小相等方向相反。vdxLmdtF⋅='2vLmvdtdxLmF=⋅⋅=′gxv22=另由链条自由落体，有：另由链条自由落体，有：于是：于是：LmgxF2=′而已落到桌面上的链条的重量为：而已落到桌面上的链条的重量为：LmgxG=所以LmgxFGN3=+=问题：①.若链条离地面高度为h时，结果如何？Lhxmg)3(−②.能否用质能否用质点系的动量点系的动量定理来处理定理来处理该问题？该问题？大学物理大学物理例例3*3*、、质量均匀分布的长为质量均匀分布的长为LL质量为质量为mm的链条铅直地悬挂，下端触地。如果的链条铅直地悬挂，下端触地。如果链条上端突然断开，计算链条下落的链条上端突然断开，计算链条下落的过程中，任一时刻作用于地面的压力。过程中，任一时刻作用于地面的压力。Loxx解：解：建立如图所示坐标系，设链条下建立如图所示坐标系，设链条下落高度为落高度为xx时，其对地面的作用力为时，其对地面的作用力为NN，，此时链条的动量为：此时链条的动量为：链条的动量随时间的变化率（速度为变量）为链条的动量随时间的变化率（速度为变量）为：：)()(2gLmxvLmmgdttdp+−=xvLmmvvxLLmtp−=−=)()(大学物理大学物理Loxx)(2'gLmxvLmmgNmg+−=−作用在整个链条的外力，有重力作用在整个链条的外力，有重力mg,mg,以及地面对链条的支持力以及地面对链条的支持力NN′′，，所所以系统所受的合外力为以系统所受的合外力为mgmg--NN′′,,由牛由牛顿第二定律，有：顿第二定律，有：LmgxgLmxvLmN32'=+=由牛顿第三定律知，链条对地面的作用力由牛顿第三定律知，链条对地面的作用力NN与与NN′′大大小相等方向相反。小相等方向相反。mg'N大学物理大学物理例例44：：一质量为一质量为mm，，长为长为LL，，密度均匀密度均匀的柔软链条的柔软链条。。将其卷成一堆放在地面将其卷成一堆放在地面上。若手握链条的一端，以匀速上。若手握链条的一端，以匀速vv将将其上提。当绳端提离地面的高度为其上提。当绳端提离地面的高度为xx时，求手的提力。时，求手的提力。解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点OO，，竖竖直向上为直向上为xx轴。以整个链条为一系统轴。以整个链条为一系统((质点系质点系))。。设在时刻设在时刻tt，，链条一端距原点的高度为链条一端距原点的高度为xx，，其速率为其速率为vv，，由于在地面由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻部分的链条的速度为零，故在在时刻tt，，链条的动量为链条的动量为xvLmtp=)(oxxFv大学物理大学物理链条的动量随时间的变化率（速度为常量）为链条的动量随时间的变