高中数学必修二《直线的倾斜角与斜率》课件

第44讲│直线的倾斜角与斜率、直线的方程第44讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求第44讲│考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理第44讲│知识梳理正角1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角：①定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小________称为直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为___________；②范围：倾斜角α的范围是____________．(2)斜率：①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．0°0°≤α180°正切值当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率k＝________；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率________．②过两点的直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝____________.若x1＝x2，则直线的斜率________，此时直线的倾斜角为90°.2．直线的方程(1)点斜式和斜截式：已知一点(x1，y1)及斜率k时，直线方程为____________________；当已知点为(0，b)时，化为y＝kx＋b，但应注意点斜式和斜截式不包括与x轴垂直的直线．第44讲│知识梳理tanα不存在不存在y2－y1x2－x1y－y1＝k(x－x1)(2)两点式和截距式：已知两点(x1，y1)，(x2，y2)时，直线方程为________________，当它经过坐标轴上两点(a,0)，(0，b)时，化为xa＋yb＝1，但应注意两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的直线，且截距式表示的直线不过原点．(3)一般式：任何一条直线都能表示为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的形式．当A＝0时，则表示平行于x轴的直线；当B＝0时，则表示平行于y轴的直线；当B≠0时，直线的斜率k＝－AB，在y轴上的截距b＝－CB.第44讲│知识梳理y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1问题思考第44讲│问题思考►问题1倾斜角与斜率(1)任何直线都有倾斜角；()(2)任何直线都有斜率．()[答案](1)对(2)错[解析](1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，所以任何直线都有倾斜角；(2)倾斜角为90°的直线没有斜率．第44讲│问题思考►问题2直线的方程(1)经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；()(2)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示；()(3)不经过原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示；()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)错(2)错(3)对第44讲│问题思考[解析](1)斜率不存在时不能用y－y0＝k(x－x0)表示；(2)斜率不存在时不能表示为y＝kx＋b；(3)当直线平行于坐标轴时不能表示为xa＋yb＝1；(4)该直线方程可以表示坐标平面上的所有直线．第44讲│问题思考►问题3凡能用两点式表示的直线都可以用斜截式表示，反之亦然．()[解析]能使用两点式表示的直线和两条坐标轴不平行，这样的直线一定存在斜率和在y轴上的截距，所以可以使用斜截式表示；能用斜截式表示的直线当斜率k≠0，可在直线上任取两点使用两点式表示，当斜率k＝0时，由于直线上任意两点的纵坐标相等，此时不能使用两点式表示．[答案]错第44讲│问题思考►问题4已知直线l的倾斜角为α，且直线l1与直线l关于x轴对称，则直线l1的倾斜角α1可以表示为α1＝αα＝0°，180°－α0°α180°.()[答案]对第44讲│问题思考[解析]当直线α＝0°时，直线l，l1平行或者重合，此时α1＝0°；当α≠0°时，如图，根据对称关系α1＝180°－α，故α1＝αα＝0°，180°－α0°α180°.这说明当倾斜角不等于零的两条直线关于x轴对称时，两条直线的倾斜角互补，如果倾斜角不等于90°，则两条直线的斜率互为相反数．要点探究►探究点1直线的倾斜角和斜率第44讲│要点探究例1(1)过P(4，－3)，Q(2，y)两点的直线的倾斜角是3π4，则y的值是()A．－5B．－1C．1D．5(2)已知过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a满足的条件是()A．－2a1B．－1a2C．1a2D．－12a1第44讲│要点探究[思路](1)根据斜率和倾斜角的关系，即直线的斜率是tan3π4＝－1；(2)倾斜角为钝角时，直线的斜率为负值，根据过两点的斜率公式，求出斜率解不等式即可．[答案](1)B(2)A第44讲│要点探究[解析](1)由y＋32－4＝tan3π4＝－1解得y＝－1.故选B.(2)tanα＝k＝2a－1＋a3－1－a＝a－1a＋20，即(a－1)(a＋2)0，故得－2a1.第44讲│要点探究[点评]直线的斜率和倾斜角之间的关系在解题中往往相互转化，实现问题的一个方面向另一个方面的过渡．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率大于零；当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率小于零；当直线的倾斜角为90°时，直线斜率不存在；当直线的倾斜角为0°时，直线的斜率为零．第44讲│要点探究变式题(1)过点M(－2，a)和N(a,4)的直线的斜率为1，则实数a的值为()A．1B．2C．1或4D．1或2(2)直线l过点A(2,1)和B(1，m2)(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.0，π4∪π2，πC.π4，π2D.π4，π2[答案](1)A(2)B第44讲│要点探究[解析](1)即4－aa＋2＝1，由此解得a＝1；(2)tanα＝k＝－m2＋1≤1，利用正切线即得．►探究点2直线方程的求法第44讲│要点探究例2(1)过点P(－1,3)，且倾斜角比直线y＝(2－3)x＋3的倾斜角大45°的直线的方程是()A.3x＋y＋3＋3＝0B．(3－22)x＋y＋3＋22＝0C.3x－y＋3＋3＝0D．(3＋22)x－y＋6＋22＝0第44讲│要点探究(2)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0)，B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是()A．y＝－3xB．y＝－3(x－4)C．y＝3(x－4)D．y＝3(x＋4)(3)过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0第44讲│要点探究[思路](1)求出已知直线的倾斜角得所求直线的倾斜角，进而得所求直线的斜率，根据点斜式写出直线方程；(2)根据三角形的顶点位置确定BC边所在直线的倾斜角，根据点斜式求解；(3)当直线经过坐标原点时，直线在两坐标轴上的截距都等于零，满足题目要求；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为x2b＋yb＝1，将已知点的坐标代入，求出系数b即可．[答案](1)C(2)C(3)D第44讲│要点探究[解析](1)已知直线的斜率k1＝2－3＝tan15°，∴所求直线的倾斜角为60°，∴所求直线的斜率k＝tan60°＝3，由点斜式得所求直线的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋3＋3＝0.(2)点A，B在x轴上，第三个顶点在第四象限，说明直线BC的倾斜角是π3，又直线经过点B(4,0)，故所求的直线方程是y＝3(x－4)；(3)当直线经过坐标原点时，直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为x2b＋yb＝1，则52b＋2b＝1，解得b＝92，故所求的直线方程是x9＋2y9＝1，即x＋2y－9＝0.第44讲│要点探究[点评]直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式的方程，当直线的倾斜角等于90°时，不能应用；求直线方程关键是求出确定直线的几何要素，即直线的倾斜角和直线经过的点，只要这两个要素清楚了，就可以写出直线方程；使用直线的截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．第44讲│要点探究变式题(1)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2(2)已知直线l过点P(－1,1)，且与直线l1：2x－y＋3＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，给出下列结论：①直线l与直线l1的斜率互为倒数；②直线l与直线l1的倾斜角互补；③直线l在x轴上的截距为12；④直线l在y轴上的截距为－1；⑤这样的直线l有两条．则其中正确结论的序号是________．第44讲│要点探究[解析](1)直线y＝－x－1的斜率是－1，故其倾斜角是3π4，∴所求直线的倾斜角是π2，直线与x轴垂直，故所求直线的方程是x＝2；(2)依题意直线l与直线l1的倾斜角互补，故其斜率为－2，过点P(－1,1)，故直线l的方程为2x＋y＋1＝0.故正确结论只有②④.[答案](1)A(2)②④►探究点3直线方程的综合应用第44讲│要点探究例3如图44－1，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口O13anmile(a为正常数)的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中已知tanα＝13，cosβ＝213.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东mnmile的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船．该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜．(1)求S关于m的函数关系式S(m)；(2)应征调m为何值处的船只，补给最适宜？第44讲│要点探究图44－1第44讲│要点探究[思路](1)根据已知的角和其三角函数值，求出点A的坐标即可建立起直线AB的方程，再求出直线OC的方程，通过两直线方程求出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可建立起S关于m的函数关系式S(m)；(2)即求出S(m)取得最小值时的m值．第44讲│要点探究[解答](1)以O点为原点，指北的方向为y轴，指东的方向为x轴建立直角坐标系，则直线OZ的方程为y＝3x.设点A(x0，y0)，则x0＝13asinβ，y0＝13acosβ，即A(3a,2a)．又B(m,0)．所以直线AB的方程是y＝2a3a－m(x－m)．上面方程与y＝3x联立得C点坐标为2am3m－7a，6am3m－7a.∴S(m)＝12|OB|×|yC|＝3am23m－7am73a.第44讲│要点探究(2)S(m)＝am－73a＋49a29m－73a＋143a≥a249a29＋143a＝28a23.当且仅当m－73a＝49a29m－73a，即m＝143am73a时等号成立．答：征调m＝143a海里处的船只时，补给最适宜．第44讲│要点探究[点评]当实际问题能够归结为平面上的一个图形问题时，可以建立平面直角坐标系后使用解析法解决．最值问题的基本解决方法是建立目标的函数关系式，然后求解这个函数的最值，求函数最值时基本不等式是其中的一个重要方法，在使用基本不等式时要注意对目标式进行合理的变换，以达到使两个变量的积(或者和)为常数的目的．本题中求解函数S(m)＝3am23m－7a的最小值可以采用换元的方法处理．在3m－7a0的情况下，令3m－7a＝t，则m＝t＋7a3，代入S(m)＝3am23m－7a＝3at7a＋t32＝a349a2t＋