第六讲-立体几何模型化思想.ppt

第六讲立体几何模型化思想一、长方体模型1.长方体中是长方体的对角线，它有几个结论：①体对角线长是：②若体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为，则③若体的对角线与一个端点的三个面所成的角分别为，则④考虑四面体是对棱长分别相等的四面体，即，对棱长分别是二．正方体①正方体的体对角线垂直于异面的面对角线②11种展开图第一类：有四个面在一条线上，有6种情形，如下所示：第二类：恰好最多有三个面在一条线上，有四种情形，如下所示：第三类：最多有两个面在一条直线上，只有一种情形，如图11所示．③.用一个平面截正方体。可得到三角形、矩形、正方形、五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。三、直角四面体（“墙角”模型）在三棱锥中，，且.①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③体积V=；④外接球半径R=；四、正四面体正四面体的性质：设正四面体的棱长为，①表面积S表=；②体积Vaa3643312=；③对棱互相垂直且对棱的距离d=④外接球半径R=；⑤内切球半径r=.⑥正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)五、双垂四面体（三节棍模型）三条棱AB、BC、CD两两互相垂直的四面体ABCD，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，①它的四个面都是直角三角形；②CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD；③相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE⊥面ACD，CF⊥面ABC），此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们也把它称为“三节棍”模型。例题一．客观题1.（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解：在正方体中，若AB所在的直线为l2，CD所在的直线为l3，AE所在的直线为l1，若GD所在的直线为l4，此时l1∥l4，若BD所在的直线为l4，此时l1⊥l4，故l1与l4的位置关系不确定，故选：D2．（2014•新课标I）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．43.（2012·安徽文改编）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤三棱锥A-BCD中，AB=2，AD＝，AC＝则四面体ABCD的外接球的表面积为8π解析：如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知①错误；由长方体中△ABC≌△ABD≌△DCB≌△DCA，可知四面体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180°，故②正确，③错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故④正确；三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等（即为等腰四面体），所以把它扩展为长方体，它也外接于球，设三棱锥A-BCD三条棱为，长方体的棱长为，则，且此长方体的面对角线的长分别为:2，，，体对角线的长为球的直径，2答案为②④⑤变式训练1.已知正三棱锥P-ABC中,E,F分别是AC,PC的中点,若EF⊥BF,AB=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.E,F分别是AC,PC的中点,∴EF∥PA,∵三棱锥P-ABC为正棱锥,∴PA⊥BC(对棱互相垂直),∴EF⊥BC,又∵EF⊥BF,而BF∩BC=B,∴EF⊥平面PBC,∴PA⊥平面PBC,∴∠APB=∠APC=90°,结合△APB≌△BPC可知∠BPC=90°.以PA,PB,PC为从同一顶点P出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的体对角线就是外接球的直径.因为AB=2,所以PA=6,∴2R=PA=6(R为外接球的半径),∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为S=4πR2=4π=6π.变式训练2.（2014•模拟）三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球的半径为（）根据已知中底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1故球的半径R===故选D例题二.解答题5.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.五、双垂四面体（三节棍模型）三条棱AB、BC、CD两两互相垂直的四面体ABCD，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，①它的四个面都是直角三角形；②CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD；③相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE⊥面ACD，CF⊥面ABC），此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们也把它称为“三节棍”模型。例题二.解答题5.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(3)求证：ABCPBAPBCcoscoscos五、双垂四面体（三节棍模型）如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：（1）它的四个面都是直角三角形；（2）；（3）以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是与；（4）以AD为棱的二面角为，则；（5）对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则，等等.6．（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2==．因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以===4变式练习．3.（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则BD=，PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得DE=，即棱锥D﹣PBC的高为．4．（2015•新课标I）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，∴BE=x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．5．（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD；又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，于是SABCD=×（4+2）×3=9．在等腰三角形AOD中，OD=AD=2，∴PD=2OD=4，PA==4，∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×9×4=12．6．（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，