声学波导管

声学波导管食不厌精脍不厌细1、恒定截面波导内的声传播1.1、矩形波导管1.2、圆柱形波导管设有一半径为a的圆柱形管，一端延伸到无限远。圆柱形管的声波方程应以柱坐标系来描述。设管的径向坐标为r，极角为，管轴用z来表示。直角坐标与柱坐标之间有如下关系zzryrxsincos而柱坐标系的拉普拉斯算符可表示为2222221)(1zrrrrr(1-2-1)于是三维声波动方程就可变换为：2222222211)(1tpczpprrprrr(1-2-2)根据分离变量法，令解,)()()(),,,(tjezZrRtzrp将其代入（1-2-2）式可得如下三个常微分方程0)(10022222222222RrmkdrdRrdrRdmddZkdzZdrz(1-2-3)其中.22222rzkkck(1-2-4)由于圆柱管道向无限远处延伸，对于Z的方程可取行波解：;)(zjkzzeAzZ(1-2-5)对于的方程可取解为),cos()(mmA(1-2-6)因为)2()(的关系应该满足，所以式中m一定要为正整数。对于R的方程我们作一适当变换，令xrkr,则方程就化为0)1(12222RxmdxdRxdxRd.(1-2-7)这是一个标准的m解贝塞尔方程，其一般解可表示为),()()(rkNBrkJArkRrmrrmrr(1-2-8)这里)(rkJrm与)(rkNrm分别代表宗量为)(rkr的m阶柱贝塞尔函数与柱诺伊曼函数。按照柱诺伊曼函数在零点发散的性质，式中应取0rB,于是（1-2-8）式简化为，)()(rkJArkRrmrr（1-2-9）由此求得管中声压解为:,)cos()()(zktjmrmmmzemrkJAp(1-2-10)由运动方程rpUjr可求得对应的径向速度为:,)cos(])()([)(00zktjmrrmrmmrmzemrkdrkdJjkArpjv(1-2-11)设管壁为刚性，即在ar处有0rv,由此条件可得知如下关系:,0])()([)(arrrmrkdrkdJ按照贝塞尔函数的递推关系)()()]()([21)(1011xJdxxdJxJxJdxxdJmmm可得到如下圆柱声波导的本征方程：)()(11akJakJrmrm)0(m0)(1akJr)0(m利用MATLAB可从这些方程解得一系列根植，部分根植列于下表akakmnr0m1m2m0n01.8413.0541n3.8325.3226.7052n7.0158.5369.965表1.圆柱声波导本征值在刚性壁条件下，rk应有一系列特定的数值，此特定值可用下标m与n两个正整数表示，我们写成mnrkk.在mnkk时声压解可写成如下形式,)()cos()(zktjmnmmmnmnzerkJmAp(1-2-12)其中22mnzkkk(1-2-13)当mnkk时，圆柱管中存在非传播形式的高次模式，这些高次模式会随距离衰减，此时声压解可写成如下形式,)()cos(tjmnmzmmnmnerkJemApmn(1-2-14)其中22kkjkmnz，22kkmnmn当波导管的声源进行极轴对称振动时，即波导管中的声压与极角无关，因此我们可以取0m,当nkk时得到声压解为)(0)(zktjnnnzerkJAp(1-2-15)其中22nzkkk(1-2-16)同理，当nkk时声压解可表示为,)(0tjnznnerkJeApn（1-2-17）其中22kkjknz，22kknn根据上表，我们可以与矩形管类似地得到圆柱形声波导管的截止频率为acffc2841.1010(1-2-18)如果已知声源做极轴对称的振动，则0m,于是可以确定acffc23.832001（1-2-19）考虑有限长圆环形声波导管的情况。设圆环的内径为1a，外径为a,长度为l.假设入射声源做极轴对称的振动，则柱坐标系下的声波方程为222221)(1tpczprprrr（1-2-20）当圆环状波导管无限长时，根据分离变量法，令解，tjezZrRp)()(（1-2-21）代入（1-2-20）式可得到如下两个微分方程,01,0222222RkdrdRrdrRdZkdzZdrz（1-2-22）如同半无限长圆柱形声波导管一样，我们可以求得：,)(zjkzzeAzZ),()()(00rkNBrkJArkRrrrrr由于我们求解的是圆环形声波导管，我们无法根据柱诺伊曼函数的零点发散性质使其系数0rB,因此我们可以将其声压解表示为,)]()([)(00zktjnnnnnzerkNBrkJAp(1-2-23)其径向速度可表示为,)]()([)(11zktjnnnznnrnerkNBrkJAkjv(1-2-24)设内外管壁均为刚性，即在1,arar处有0rv,由此条件可得到如下关系)()(11akNakJABnnnn此时式（1-2-23）可简化为),()(reApnzktjznn其中)()()()()(0110rkYakNakJrkJrnnnnn(1-2-24)在考虑圆环形声波导管的长度为有限长l时，由于管末端突变界面的影响，此时管中将存在沿z轴负方向传播的反射波，根据以上对入射波声压的求解，我们可以类似的得到反射声波声压),()]([reApnlzktjznn(1-2-25)由此，我们可以得到圆环形声波导管内的声压解为)(][),()(][),(0)(0)(reAeAzrPereAeAzrpnnlzjknzjkntjnnlzjknzjknzzzz(1-2-26)轴向声速解为)(][1),()(][1),(0)(0)(reAeAkzrUereAeAkzrvnnlzjknzjknztjnnlzjknzjknzzzzz(1-2-27)根据径向声速在1ar时为0，我们可以得到0)()()()(111111akYakNakJakJnnnn(1-2-28)其中zk表示水平波数，并且有2122][nzkkk当nkk时，zk为实数，zjkze和)(lzjkze均不会沿着传播方向衰减，当nkk时，取zk为负虚数（此处不取正虚数的原因在矩形声波导管中已经作了解释），即22-kkjknz(1-2-29)此时，zjkze和)(lzjkze均会沿着传播方向衰减。因此在圆环形声波导管中，声压是能够在管中正常传播模式和非正常传播模式的叠加。接下来，我们考虑圆环内径01a的情况，此时即为有限长的圆柱形声波导管，结合半无限长圆柱形声波导管和有限长圆环形声波导管的分析，我们可以求得管中的声压解为)(][),(0)-(-reAeAzrPnnlzjknzjknzz(1-2-30)轴向声速解为)(][1),(0)-(-reAeAkzrUnnlzjknzjknzzz(1-2-31)其中)()(0rkJrnn（1-2-32）设波导管的管壁为刚性，即径向速度在ar处为0，得其本征方程0)(1akJn（1-2-33）其轴向波数的分析同圆环形波导管。计算单向传播的某高次波声场的声强，其中jwtAmzjknAnjwtAmzjknereAkwvereApAnAn)(1,)()()(Re21]Re[211202**nAnSSJAkwdspvSIdsSI下面考虑一段是振动活塞，另一端为无限长度的柱形波导管模型，在已知波导开口处活塞速度分布的情况下，求解管内的声场。设振速是轴对称分布的，由傅里叶-贝塞尔展开，把表面声压或振速函数)(rf展成以特征函数)(raJmnm为特征函数的级数-0)()(arJbrfmnnmnmn由边界条件决定，应用柱贝塞尔函数的正交性求解mnb-drarJarrJnmmnmamnm)()(0换元使得0,xxarmnmn上式变为2'22222022202'2202202022'0'''2202202'02'''220220202220)]([21)())((21|)()(2)]([)(21)()(21)()()()()]()([)(1)()(21)()]()()([)(1)()(21)]([)(21)()(000000aJaaJamaxJamxJxdaxJxaxdJxJamdxxJxxJxJxaxJxadxxJxJmxxJxJxaxJxadxxJadrarJarrJmmmnxmmnxmmnmmnmxmmnmxmmmnmmnmxmmmmnmmnxmmnmnmamnm常有以下三类边界条件第一类，硬边界条件下，已知声压的分布函数，0)('mnnJ，此时，为数学上的诺依曼问题，amnmmnmmnmnrdrarJrfJmab02222)()()()1(2。第二类，软边界条件下，已知振速的分布函数，0)(mnmJ，此时，为数学上的狄利克雷问题，amnmmnmmnrdrarJrfJab0212)()()(2。第三类，相当于弹性支撑下的边界条件，0)()('mnmmnmmnJHJa。此时drrarJrfJHamaabamnmmnmmnmnmn022242222)()()()(212。1.4、波导管的T型网络类比2、缓变截面波导内的声传播2.1、缓变截面管内的声场解析表达式2.2、指数型、悬链型、锥形缓变截面号筒3、突变截面波导内的声传播3.1、平面波假设下的常见突变截面管模型考虑波导管是轴对称分布下的刚性壁管道，沿着轴向不同位置的垂直横截面是相似的，横截面积之时轴向的一维函数)(xss，突变截面管)(xs为分段连续函数，以在间断点处的截面分界，分别分析和联系，对传播特性进行研究。3.1.1、模型一图一)()1(412122212ssssIItitI隔声量4)1(2212snI采用收缩式截面管，1In，突变的截面相当于介质特性阻抗的突变，起到反射作用。3.1.2、模型二图二由边界上的声压连续和体积速度连续4sin)()(cos1sin)()(cos44sin)(cos222221212212212212222221212122122211klSSkltnklSSklpptklSSjklSSSSppeppeppUeUdUcpppUcUcUbUappppIIaeIaejklcdjklccedcdcba4)(max21221SSnI,1maxIn无论扩张式亦或收缩式，其相当于中间插入过度介质。,1minIn此时)(2,2Nnnllncf这种结构可以实现对声波的全投射却无法实现全阻隔。在中间管道中的声场)(sin)(cos22)()](cos[sin)(cos2)(2)]([122212121122212112143行波项驻波项lxkwtjjwtepklSSjklSSSelxkpklSSjklSSSSSppp可见在突变截面下，驻波项和行波项是永恒存在的，而当12SS时，没有了反射，驻波项消失，投射系数为1。考虑这种波导隔声量的Q值，使得2maxIInn))(2)(2arccos(421))(2)(2arccos(24))(2)(2arccos(2cos]4)[(2)(22212221022212