微分方程-数学建模

6微分方程建模一般处理动态连续问题动态问题•分析对象特征的变化规律•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段6.1铅球的投掷问题6.2檐沟问题6.3人口预测和控制6.4传染病模型6.5最优捕鱼策略6.6捕鱼业的持续收收获稳定性模型6.7关于男生追女生的数学问题•根据规律列方程•微元分析法•模拟近似法微分方程建模6.1铅球的投掷问题一.背景、问题：投掷园Ø7呎=2.135m，有效扇形450，坻趾板10×10cm,铅球重16磅=7.264kg。运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？二.模型与分析：1.抛射体模型：铅球出手后的运动过程假设：(1)铅球是个质点。(2)忽略空气阻力。(3)出手角度与出手速度无关。变量、参量：出手角度α，出手高度h，出手速度v，出手时间t，投掷远度s。坐标系：（x，y）铅球运动的轨迹为(x(t),y(t)).平衡关系：力与运动的牛顿定律有解cos)0(,0)0(,022vxxdtxdhxvgxxy)(tancos2)(222hgttvtytvtx221)sin()()cos()(sin)0(,)0(,22vyhygdtyd模型:铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标检验:姓名v(m/s)h(m)α(0)s(m)实测李梅素13.751.9037.6020.6820.95李梅素13.522.0038.9620.2220.30斯卢皮13.772.0640.0021.2521.41gvhgvgvs22222cos2)22sin(22sin分析:1.最佳出手角度:求函数s(α)的极大值点满足方程化简可得给定出手高度,最佳出手角度随出手速度增大而增大。给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减小。02sin22cos2sincos82sin2cos22224ghvhgvvhvggvghgh/2cos2204502.最佳投掷模式给定出手高度h、出手速度v从而可以计算最佳出手角度α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模式。h\v101112131414.5151.940.4841.1641.7142.1542.5142.7642.8011.9514.1116.4819.0521.8123.2724.782.040.2840.9941.5542.0142.3942.5542.7012.0314.2016.5719.1421.9023.3624.872.140.0840.8241.4041.8842.2742.4442.5912.1214.2916.6519.2922.0023.4624.973.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析参数变化对模型值的影响。模型对参数变化率的分析。模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差。高度1.9m时37383940414243极差1011.8911.9211.9411.9511.9511.9411.920.061114.0114.0514.0914.1114.1214.1214.100.111216.3116.3816.4316.4616.4816.4816.470.171318.8018.8918.9619.0119.0419.0519.040.251421.4821.5921.6821.7521.7921.8121.820.341524.3624.4924.6024.6824.7424.7824.780.42极差12.4712.5712.6612.7312.7912.8412.86高度2m时37383940414243极差1011.9812.0112.0312.0412.0412.0212.000.061114.0114.1514.1814.2014.2114.2014.180.111216.4116.4716.5216.5516.5716.5716.560.161318.9018.9919.0519.1019.1319.1419.130.241421.5921.7021.7821.8521.8921.9121.910.321524.4624.6024.7024.7924.8424.8724.880.42极差12.4812.5912.6712.7712.8812.8512.88高度2.1m时37383940414243极差1012.0712.1012.1212.1212.1212.1012.080.051114.2014.2414.2714.2914.2914.2814.260.091216.5116.5716.6216.6516.6616.6616.640.151319.0119.0919.1519.2019.2219.2319.220.221421.7021.8021.8821.9421.9822.0021.990.301524.5724.7024.8024.8824.9424.9724.970.40极差12.5812.6012.6812.7612.8212.8712.89出手速度：12.47~12.89出手角度：0.06~0.42出手高度：0.16~0.22模型s(v,h,α)在点(v0,h0,α0)关于参数v,h,α的灵敏度。S(s,v)=(Δs/Δv)(v0/s0)S(s,α)=(Δs/Δα)(α0/s0)S(s,h)=(Δs/Δh)(h0/s0)第一因素速度，第一因素高度，角度主要在最佳出手角度上下20误差结论：1.出手速度最重要。2.出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的.但在最佳出手角度上下20范围内远度的变化很小。不必过分准确。3.在前面的基础上，尽量提高出手的高度检验分析问题：1.李梅素的数据h=1.9m,a=37.60,v=13.75m/s,s=20.68ma=42.40，s=20.95mh=2.0m,a=39.70,v=13.52m/s，s=20.22a=42.40s=20.30m出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。出手的速度随着出手角度的增加减小了！2.铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。是运动员投掷铅球过程中用力过程的综合的结果。需要组建铅球投掷的模型。2.铅球投掷模型假设：1.滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。2.在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。3.在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。参量:v0初速度,t0用力时间,F推力,m铅球质量。发力期间平衡关系：模型令t=0时开始用力，t=t0铅球出手。在区间[0，t0]积分模型，可得由此可得铅球的出手速度mgFtymFtxmsin)(,cos)(000000sin)(,cos)(gttmFtyvtmFtx.0)0(,)0(0yvxcos2)sin2()sin()cos()()(0020202222002002020vtmFvtgmFgmFgttmFvtmFtytxv检验:αvhs李梅素40.2713.162.2019.40隋新梅39.0013.952.0421.66李梅素38.6913.512.0020.30黄志红37.7513.582.0220.76李梅素37.6013.751.9020.95李梅素35.1314.081.9521.76分析:1.v随着F和t0的增加而增大;2.v随着v0的增加而增大;3.v随着a的增加而减小.女子铅球的技术特征:滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。cos2)sin2(002020222vtmFvtgmFgmFv问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。6.2檐沟问题背景市政府的建筑处需要确定与屋顶配套的檐沟的规格。一个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长12米，从屋脊到檐沟的宽为6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大致将在20°和50°之间。一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货合同.该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论什么样的天气情况都能有效地满足要求，对这批屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7.5厘米的半圆，用一条直径为10厘米的排水管就够了问题这种尺寸在下雨时是否足以正常排水分析涉及槽沟容纳雨水的能力,是一种输入输出模型关键的问题:檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢出，即确定特定时期檐沟中水的高度.输入是倾斜屋顶上流下的雨水输出则是从垂直的排水管里流出的水模型假设1.雨水垂直下落，并且直接落到屋顶上2.所有落在屋顶的雨水全部迅速流进檐沟4.雨撞击屋顶时不溅走3.直接落入檐沟的雨水忽略不计5.排水系统不会出现意外的堵塞记号：降雨的强度（速度，单位r)1ms：时间（单位s）t：屋顶倾角（单位deg）：屋顶长度（单位m）d：屋顶宽度（屋脊到檐沟,单位m）b：檐沟半径（单位m）a：檐沟内水的高度（单位m）h记号：檐沟内水的体积（单位m3）V：流入檐沟的流速（单位)13sm1Q：流出檐沟的流速（单位)13sm0QA：排水管的横截面积（单位m2）建立模型檐沟系统中水的流量流出量速率流入量速率檐沟中水量变化率01)(QQtV流入檐沟的流速cossin)(1bdtrQ流出檐沟的流速ghAQ20檐沟的横截面水的体积水的体积=水的横截面积×檐沟长d2sin2122122aa面积)cossin(2a]2)()[arccos()(222ahahhaahadatV22)(2)(hahdthtV22)(22cossin)(hahdthghAbdtr01)(QQtV模型2222cossin)()(hahdghAbdtrth模型求解问题01.0)0(15.000145.0299.1)(2hhhhrth对降雨速度r(t)考虑的两种情形模拟①情形1：，在长时间内，下雨是均匀恒量，持续不断的情形可能由于排水不及，雨水从檐构溢出，也可能檐构中水的高度h(t)保持在一个小于0.075米的稳定值，呈动态平衡状态时由模拟，当10205.0cmsrt(米)h(厘米)01.0052.39103.55153.58203.92254.17304.35354.50t(米)h(厘米)404.61454.69504.76554.81604.86……1205.00时当10205.0cmsrcmh02.5处呈稳定状态cmh5.7雨水从檐构溢出②情形2：40,0,400),40sin(201)(ttttr表明下雨过程是在40秒内发生的一个短促的阵雨行为，最大的降雨速度是0.05m/s01.0)0(40,15.00145.0400,15.000145.0)40/sin(201299.1)(22hthhhthhhtth求解数值解t(秒)h(厘米)00.0120.2840.1260.3980.84101.45122.19143.30t(秒)h(厘米)163.92205.70257.35307.65356.42404.30452.74500.23510.00结论塑料槽沟在下雨时可以正常排水背景年1625183019301960197519871999人口(亿)51020304