空调选购问题

数学模型考试论文论文名称空调的选购问题班级姓名指导教师时间2013—2014学年第1学期1摘要本论文针对空调品牌的决策问题进行讨论，综合考虑价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音、款式这六个因素，并利用层次分析法和九级标度法对其进行研究。首先建立层次分析模型，把购买空调分为三层:最上层为目标层，即选购空调，最下层为方案层，有格力，海尔，美的，奥克斯，海信5种供选择品牌空调，中间层为准则层，有价格，耗电等6个准则。然后通过相互比较确定各准则对目标的权重，及方案对于每一准则的权重。最后将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。由此，我们得到了海尔空调在购买空调占的比重大于其它4种空调。在文章的最后对层次分析模型进行了简单的评价与推广。关键词：层次分析法九级标度法成对比较矩阵权重2一、问题重述空调的选购问题1.某顾客欲购买一台适合使用的直流变频壁挂式空调，考虑的因素有品牌、价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音和款式等七个方面．经过初步考查，他确定格力、海尔、美的、奥克斯、海信等五种空调为待选目标。适合使用的直流变频壁挂式五种空调的各项指标如下表所示．请你建立数学模型帮该顾客分析一下选择购买哪一种空调最合适．五种空调的各项指标品牌价格（元）耗电量（瓦/小时）能效等级售后服务噪音款式格力336811003好25-37db好海尔315010603很好23-39db一般美的289812604较好27-38db较好奥克斯209912504一般30-41db一般海信269511403较好25-39db好2.请你们作一下黄石的市场调查，给此顾客建议在哪个商场购买哪个品牌的哪一型号的空调较好，并说明你的理由。二符号说明kC：考虑的因素（品牌、价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音和款式）（k=1，…,5）iP：空调选购方案（格力、海尔、美的、奥克斯、海信）（k=1，…,5）A：准则层对目标层的成对比较矩阵：矩阵A的最大特征根：矩阵A的特征向量CI：一致性指标RI：随机一致性指标CR：一致性比率kB：方案层对准则层的成对比较矩阵（k=1，…,5）5k：kB各相应的权向量k：kB各相应的最大特征根kCI：kB各相应的一致性指标三模型假设1.假设顾客所考虑的除了品牌、价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音、款式等因素外，不再考虑其他的任何因素。2.假设问卷调查结果是真实可靠的。3.假设各个数据具有独立性，互不影响，各个因素之间也不相互影响。4.假设题中给定的价格即为顾客购买空调时的价格，商场不进行打折优惠活动。5.购买空调之前并没有偏爱某种品牌，对5种空调的喜爱程度一致。3四模型设计这是一个单目标、多因素类决策问题，我们考虑层次分析法，首先建立层次结构模型，然后通过相互比较确定各准则对目标的权重，及方案对于每一准则的权重。最后将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，权重最大的方案即为选购的目标。五建立模型及求解1.1建立层次结构模型通过分析内在因素间的联系与结构，可以将结构分为三层，即目标层：购买空调的品牌；准则层：价格、耗电量、能效等级、售后服务、噪音、款式；方案层：格力、海尔、美的、奥克斯、海信。其中这三个层次相互影响，而层内因素之间基本上相互独立，将这三个层次用图表示为：1.2构造成对比较矩阵成对比较矩阵是表示准则层所有因素对目标层的相对重要性的比较，判断矩阵的元素aij用Saaty的1—9标度方法给出：标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij,则因素j与i比较的判断aij=1/aij空调品牌目标层准则层款式噪音售后服务能效等级耗电量方案层海信奥克斯美的海尔价格格力4参考网络上的问卷调查结果，对六种因素对目标层的相对重要性进行比较可得到如下表格1表格1价格耗电量能效等级售后服务噪音款式价格11/31/71/553耗电量311/51/375能效等级751398售后服务531/3187噪音1/51/71/91/81/71/3款式1/31/51/81/731则得到的成对比较矩阵为：A=13718151313171819171517813135893157573151133551713111.3计算权向量并通过一致性检验利用数学软件Matlab计算成对比较矩阵的最大特征根和特征向量(见附录1)，得：=6.3449，对应的特征向量=(0.1260，0.2020，0.3291，0.2697，0.0090，0.0640)T。一致性指标1nCIn=0.0690随机一致性指标RI的数值可查知:当n=6时，RI=1.24一致性比率CICRRI=0.05470.1。即通过一致性检验，上述可作为权向量。1.4计算组合权向量并作出组合一致性检验在空调的选购策略中，我们已经得到了第二层(准则层)对第一层（目标层）的权向量即。用同样的方法构造第三层(方案层)对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，不妨设它们为\1B、2B、3B、4B、5B，这里kB（k=1，…,5）中的元素ijb是方案（选购空调）iP与jP对于准则kC（价格、耗电等）的优越性比较尺度。根据题中给定的数据及信息针对每个具体的因素根据空调在该因素上的优劣进行比较最终可得表格2—7:5表格2价格格力海尔美的奥克斯海信格力11/31/51/91/7海尔311/31/71/5美的5311/51/3奥克斯97513海信7531/31表格3耗电量格力海尔美的奥克斯海信格力11/3753海尔31975美的1/71/911/31/5奥克斯1/51/7311/3海信1/31/5531表格4能效等级格力海尔美的奥克斯海信格力11331海尔11331美的1/31/3111/3奥克斯1/31/3111/3海信11331表格5售后服务格力海尔美的奥克斯海信格力11/3353海尔31575美的1/31/5131奥克斯1/51/71/311/3海信1/31/51316表格6噪音格力海尔美的奥克斯海信格力13795海尔1/31573美的1/71/5131/3奥克斯1/91/71/311/5海信1/51/3351表格7款式格力海尔美的奥克斯海信格力19591海尔1/911/511/9美的1/55151/5奥克斯1/911/511/9海信19591则：1B=131357315793151135517131137191513112B=135513131137151513119171579133573113B=13311311131313111313113311133114B=13151313113171511315131575133533115B=153315151131719131315171375131597316B=195919115119151515519115119119591同理，由第三层的成对比较矩阵kB（k=1，…,5）计算出权向量5k、最大特征根k7和一致性指标kCI(见附录1)，结果如下表：k1234565k2883.03997.01840.00950.00330.01840.00950.00330.03997.02883.02727.00909.00909.02727.02727.01324.00451.01324.04201.02700.01840.00330.00950.02883.03997.03678.00380.01885.00380.03678.0k5.23755.23755.00005.12695.23755.1703kCI0.05940.059400.03170.05940.0426由随机一致性指标RI的数值表查得n=5时，随机一致性指标RI=1.12，则由一致性比率CICRRI知，CR均小于0.1，所以上面的kCI均可通过一致性检验。则方案iP在目标中的组合权重应为第二层对第一层的权向量与第三层对第二层的权向量5k（k=1，…,5）的相应项的两两乘积之和，即1P在目标中的组合权重为:0.1260*0.0330+0.2020*0.2883+0.3291*0.2727+0.2697*0.2700+0.0090*0.3997+0.0640*0.3678=0.2521同样可算出2P、3P、4P、5P在目标中的组合权重为0.3008、0.1084、0.1144、0.2241(见附录2)，所以组合权向量5=(0.2521,0.3008,0.1084,0.1144,0.2241)T。由上述结果，我们可以得到组合权重大小为：海尔格力海信奥克斯美的，故我们最后选择购买海尔空调。2.黄石的市场调查结果如下表：8品牌价格（元）耗电量（瓦/小时）能效等级售后服务购买率贸家电：格力310010003好高海尔专卖店：海尔30009003很好很高华昌电器：美的279914004较好较高平价家电城：奥克斯210013004一般一般分析表格可知：在黄石地区，顾客对空调的信赖度最好的是海尔空调，而且由第一问中的结果可知，海尔空调的组合权重是最大的，即性价比最高，所以我建议该顾客购买海尔空调，在黄石海尔专卖店购买。六模型分析1.1模型检验：经查阅资料，大众选择海尔，格力的人最多，而选择购买奥克斯的人相当少，故我们通过数学建模所得到的结果与实际情况基本相吻合。1.2优缺点：优点层次分析模型具有系统性、实用性和简洁性的优点。层次分析把研究对象作为一个系统，进行系统分析。层次分析把定量和定性方法结合起来，能处理实际问题，应用范围很广。层次分析的基本原理和步骤容易掌握，计算简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。缺点层次分析具有一定的局限性，就是说，第一，它只能从原有方案中选优，不能生成新方案。第二，它不适于精度要求很高的问题。第三，人的主观因素的作用很大，使得决策结果难以为众人接受。七参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊编著《数学模型（第三版）》，北京:高等教育出版社，2003[2]楼顺天，姚若玉，沈俊霞编著MATLAB7.X程序设计语言第二版，西安：西安电子科技大学出版社，2007八附录一、附录19利用数学软件Matlab计算每一个成对比较矩阵的最大特征根和特征向量，利用表1中的数据计算过程如下：A=[1,1/3,1/7,1/5,5,3;3,1,1/5,1/3,7,5;7,5,1,3,9,8;5,3,1/3,1,8,7;1/5,1/7,1/9,1/8,1/7,1/3;1/3,1/5,1/8,1/7,3,1][V,D]=eig(A)①W=A/sum(A)②通过命令①即可得到A的全部特征值构成的对角阵，通过比较选出max即可，同时也可得到A的特征向量构成的矩阵的列向量从中找出max所对应的一列向量；再通过命令②对得到的特征向量进行归一化处理，最终可得到结果。max=6.3449，对应的特征向量v=(0.1260，0.2020，0.3291，0.2697，0.0090，0.0640)T。同理表2，3，4，5，6，7通过计算可得到出最大特征值与特征向量。二、附件2：计算组合权向量1a=0.1260*0.0330+0.2020*0.2883+0.3291*0.2727+0.2697*0.2700+0.0090*0.3997+0.0640*0.3678=0.25212a=0.1260*0.0950+