电磁场与电磁波电子教案3

第三章静态电磁场及其边值问题的解3．1真空中静电场的基本方程3.1.1场的基本方程由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。一、真空中静电场的散度高斯定理1、真空中静电场的散度可以证明，真空中静电场的散度为）（处电荷密度为）（处无电荷rrrrE0/0静电场高斯定理微分形式说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小)(r；2）对于真空中点电荷，有()0(0)Err0/(0)Erqr或（）2、高斯定理高斯定理的积分形式0000)()(1)(/)()(QsdrEQdvrsdrEdvrdvrEsvsvv讨论：1）物理意义：静电场E穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量有关（场与所有电荷有关）；2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场；3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。二、真空中静电场的旋度环路定理BARRlrlRRqRdRqRldeqldEBA1144ˆ402020当A点和B点重合时，0cldE静电场环路定理的积分形式由斯托克斯公式，0E环路定理的微分形式讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零静电场为保守场；2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。三、真空中静电场性质小结1、微分形式积分形式lsldrEQsdrEErE0)(/)(0/)(002、静电场性质：有源无旋场，是保守场3、静电场的源：电荷讨论：对于静电场，恒有0E，而0)()(rE为标量辅助函数静电场可以由一标量函数的梯度表示。补充内容：利用高斯定理求解静电场00)(1)(QdvvsdrEvs1、求解关键：高斯面的选择2、高斯面的选择原则：1）场点位于高斯面上2）高斯面为闭合面3）在整个或分段高斯面上，E或sdE为恒定值。3、适用范围：呈对程分布的电荷系统。3.1.2电位函数一、电位函数与电位差1、电位函数0)(0EE可用一标量函数表示E讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向3）在直角坐标系中，zyxezeyexEˆˆˆ2、电位差（电压）电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。电位差的计算：ˆˆˆlllBBABABAAeelEedEdllEdlEdl为增加最快的方向电场空间中两点间电位差为：ABABldE说明：1）意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所做的功；2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。3、电位参考点电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性设)(cEc为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。选择电位参考点的原则：1）应使电位表达式有意义；2）应使电位表达式最简单；3）同一个问题只能有一个参考点；4）电位参考点的电位值一般为零。二、电位函数的求解1、点电荷的电位Qpqp)11(4ˆ4)(020QpQprppQpQpQPrrqrdreqldEldE选取Q点为电位参考点，则0QQpprrq1140若参考点Q在无穷远处，即Qr，则rqr04)(点电荷在空间产生的电位说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。2、无限长线电荷的电位EpQp)ln(ln2ˆ200pQlQprlrrerE电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取1r柱面为电位参考点，即1Qr，得plprln20无限长线电流在空间产生的电位3、分布电荷在空间产生的电位体电荷：vcdvRrr)(41)(0面电荷：sscdsRrr)(41)(0线电荷：llcdlRrr)(41)(0说明：若参考点在无穷远处，则0c。综上所述，电位是一标量电位是一相对量，与参考点的选取有关电位差是绝对的引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求解电位函数，再由关系E得到电场解。三、电位的微分方程1、方程的建立有源区00EE即20电位的泊松方程无源区020电位的拉普拉斯方程（不同坐标系下方程的表示略）电位的边界条件10l120Edl212nnsDDDE而有1212snn若0s有2121120nn3.1.3电容一、电容1、孤立导体的电容定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即UQC电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关；例：空气中半径为a的孤立导体球aQCaQ00442、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）21QCC只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关；例：平行板电容器电容（导体球、圆柱等）dsdsEdsQCsss00213.1.4电场能量一、空间总电场能量1、分布电荷总能量空间电荷分布)(r，在空间中产生的电位为)(r，空间总电场能量为：vedvrrW)()(21说明：1）此公式只适用于静电场能量求解；2）21不表示能量密度；3）)(r为空间中自由电荷分布；4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。2、带电导体系统总能量若电量为q的电荷分布在导体上，导体电位为)(r，空间总静电场能量为qWe21i导体所带电量N个导体，iiieqW21i导体电位二、电场能量密度vsvvvedvEDsdDdvDDdvrDdvrrW21][21][21)(21)()(21第一项：22111,[]DdsrDdsrrr,[]0srDds1()()2eevvWDrErdVwdV21122ewDEE电场能量密度例3.1.6P102三、静电力(虚位移法)虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电能为。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的虚位移，静电力作的虚功为：(力为广义力)该虚功等于电荷体系能量的减少若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为sdW，则该系统的能量关系为siiedWFdgdW3.2恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场）一、恒定电场基本方程基本量JE、基本方程：有源无旋场00cldEE恒定电场空间中电荷分布不变0t由电流连续性方程，vsvsdJdvJdvtJ000)(0J)()(rErJ，有00)(EE均匀导电媒质，=常数由000)(02EEEE二、欧姆定律体积元：电导率，电场E由欧姆定律ˆˆ/UEdlIJdsJsElRdldsˆˆ()slδδAFlδlδleWeWeeeeW/JEEJ单位矢量讨论：1）在理想导体)(内，恒定电场为0；2）恒定电场可以存在于非理想导体内；3）在导电媒质内，恒定电场E和J的方向同。三、焦耳定律在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量V，运动速度为v，则电场力在时间t所做的功为wtvEVldFw功率VEJtwdP电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为2EEJVPp——焦耳定律的微分形式体积为V的导电媒质内的损耗功率为vdvJEP——焦耳定律的积分形式四、恒定电场边界条件J的边界条件nnsJJnJJsdJ21210ˆ)(0E的边界条件ttlEEnEnEldE2121ˆˆ0电位边界条件0211122nn讨论：21212211tgtgtgtg若2，则01在理想导体表面上，E和J都垂直于边界面。静电场和性质的比较：相同点：不同点：1、场性质相同，均为保守场；1、源不同；2、场不随时间改变；2、存在区域不同，静电场只能3、均不能存在于理想导体内部。存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。静电场恒定电场静电比拟EDldEsdDls00EJldEsdJls00GCEEJD3.3恒定磁场分析3.3.1真空中恒定磁场基本方程1、磁场基本方程csHdlJdsHJ00SBdsB恒定磁场性质：1）无源场，磁感应线无头无尾且不相交；2）有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。注意：1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关；2）定理中，电流为回路所围电流的代数和，H为回路C内外的电流共同产生。2、边界条件12121212ˆ()0ˆ()nnnnsttseBBBBeHHJHHJ若0sJ，则120ttHH3.3.2矢量磁位一、矢量磁位的引入0()()0BBArA（Tm）二、库仑规范要求：B与()Ar间满足一一对应关系1、矢量位的任意性设()()()ArArr()r为任意标量场()()()ArArr而()0r有()()ArArB而()()()ArArr2()()()0ArArr上式表明()Ar和()Ar为性质不同的两种矢量场，这意味着满足()BAr的()Ar有无限多个。2、库仑规范条件由上所述，必须引入新的条件对()Ar进行限定。由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，()Ar的旋度已知，必须对其散度进行限定。令()0Ar库仑规范条件注意：规范条件是人为引入的限定条件三、矢量磁位的求解1、矢量磁位满足的方程