变量与函数教学设计

“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第1页共11页14.1.1《变量与函数》一．内容和内容解析【教学内容】《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，教参建议本单元内容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识函数图象（“看图说话”），第4、5课时画函数图象．本设计是第1课时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用含x的式子()fx表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到第1课时．【学情分析】变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第2页共11页学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2)借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第3页共11页验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第4页共11页来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．五、教学过程导言：1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？理由：2.我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？理由：上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．板书课题：两个__量的关系：说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题．（一）概念的引入1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是元；1.一个__量另一个__量体重饭量脚印身高“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第5页共11页（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是元；（4）若一场售出x张电影票，则该场的票房收入y元，则y.思考：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y随的变化而变化；（2）当售出票数x取定一个确定的值时，对应的票房收入y的取值是否唯一确定？(例如，当x=150时，y的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中，（1）13号的成绩为______；（2）17号的成绩为______；（3）18号的成绩为______；（4）23号的成绩为______．思考：（1）测试成绩随________的变化而变化；（2）任意确定一个学号x，对应的成绩f的取值是否唯一确定？(例如，当学号x=13时，所得成绩f的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．3.温度变化问题：如图一，是抚顺春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，22时的气温是℃；（2）这一天中，最高气温是℃，最低气温是℃；（3）这一天中，在4时~12时，气温（），在12时~14时气温（），在16时~24时，气温（）.A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；图一“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第6页共11页（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？(例如，当t=12时，所得温度T的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.（二）概念的定义1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？答：票房收入问题中，涉及票价(10元)、售出票数x、票房收入y，票数x的变化会引起票房收入y的变化，如图所示：类似的，有：在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，(1)当t=0点时，T=2;当t=2点时，T=0;(2)当t=12点时，T=8;当t=12点1分时，T=8;当t=12点2分时，T=8;…当t=14点时，T=8;情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一确定”.反之，当T=8时，所得t的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T，不能把时间t“唯一确定”.在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数．（但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T，不能把时间t“唯一确定”.）一般地，在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做；（2）不变的量叫做；学号x成绩f时间气温售出票数票房收入“初中数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计设计组成员：林俊伟，郑青青，雷珮瑛，陈汉桥，陈秀君，陈李，郑燕，褚永华，梁颖瑜，陈敏妍，潘瑞胜，伍晓焰，许世红第7页共11页（3）如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，称x是，y是x的；（4）如果当ax时，by，b叫做当ax时的函数值.说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．问题回顾指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.1.“票房收入问题”中，（1)涉及到的量有______________，其中的变量是________，常量是____；（2）________是自变量，y是x的函数.2.“成绩问题”中，（1)涉及到的量有______________，其中的变量是________，常量是____；（2）____________是自变量，y是x