注册电气工程师公共基础高数辅导

注册电气工程师公共基础辅导高等数学马鸿雁高等数学考试说明：共120题，每题1分。4小时上午段：高等数学24题（24分）普通物理12题普通化学12题理论力学13题材料力学15题流体力学12题计算机应用基础10题电工电子技术12题工程经济10题高等数学空间解析几何微分学积分学无穷级数常微分方程概率与数理统计向量分析线性代数一、空间解析几何向量代数平面直线柱面旋转曲面二次曲面空间曲线一、空间解析几何空间解析几何是用代数的方法研究空间中几何问题研究工具：几何向量几何向量：既有大小、又有方向的量称为向量或矢量。用几何空间中有向线段来表示的向量为几何向量（简称向量）。几何向量（1）模：向量的大小（长度）、有向线段的长度（2）单位向量：模为1的向量（3）零向量：模为0的向量；起点和终点重合，方向任意（4）负向量：大小相同，方向相反（5）自由向量：与起点无关的向量，我们研究的重点（一）向量代数向量和向量坐标的概念向量的线性运算的概念及运算规则向量的模、方向余弦、方向角，非零向量的单位向量向量数量积、向量积、混合积的概念、几何物理意义及运算规则两向量相互垂直和相互平行的条件利用向量积求面积（一）向量代数向量代数是建立平面方程与直线方程、以及研究它们基本性质的工具。1、空间直角坐标系2、向量3、向量的坐标表达式1、空间直角坐标系21221221221)()(zzyyxxMM为了将几何向量的加法、数乘等运算转化为数的代数运算，引入空间直角坐标系。(1)空间两点之间的距离1、空间直角坐标系（2）定比分点公式21212121,,::zzzyyyxxxMMMMM的坐标为：则分点2、向量的坐标表达式),,(zyxOMzkyjxiOM2、向量的坐标表达式x,y,z为向量在Ox轴、Oy轴、Oz轴正方向上的投影。xi、yj、zk为向量在三个坐标轴上的分向量。方向余弦设向量与坐标轴Ox，Oy，Oz正向的夹角分别为（角度0~之间），三个角决定了向量的方向。为了方便，常用。称之为向量的方向余弦来描述向量的方向，cos,cos,cos、、方向余弦1coscoscoscoscos,cos222222222222zyxzzyxyzyxx向量在正方向上的单位向量为方向余弦)cos,cos,(cos3、向量向量的加减法数乘向量数量积向量积两个向量平行或垂直的充分必要条件3、向量(1)线性运算1）向量的加减法:满足交换律、结合律a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3).2）向量与数的乘积λ=（λa1，λa2，λa3），其中λ为数量，满足结合律和分配律3、向量（2）数量积设a、b是两个向量，称数cos),(),(bab(cosbababababaaba或的数量积或内积，记作与为的夹角）与为向量1)数量积推论两个向量的数量积等于零的充要条件：a=0,或b=0或零向量垂直于任何向量。两个向量互相垂直的充要条件：数量积等于零。2aaa22)数量积性质000)()()()(aaaaacbcacbakbabakbkaabba的充要条件3)数量积性质注意：向量的数量积不满足消去律，即cabbcbacbacbacabacbacaba推不出垂直与即（是说推不出0,,0)0,数量积的应用0),,,(),,,(0332211321321babababbbaaa则直角坐标系下，判断两个向量是否垂直(3)向量积成右手系和bababababababa,,;)(;,sin向量积的坐标表达式321321bbbaaakjiba0,,,,kkjjiijkiijkkijjikikjkji向量积的坐标表达式yxyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaakbjbibkajaia,,1)向量积的推论积相同。邻边的平行四边形的面为、的值与以的面积，则等于平行四边形由于平行与规定中有一个是零向量，若bababacbababbabaasin)(0)(0,)(2）向量积性质)()()();()())(()()())(()(cabacbacbcacbackbabakbkababbaa3)向量积性质注意（a）不满足交换律（b）不满足消去律，即cabbcbacbacaba推不出推不出0,0,向量积的应用求与已知两向量都垂直的向量求平行四边形、三角形的面积判断两向量平行0平行与（3）混合积（三重数积）定义：321213122131221333222111333222111)()()()(),,,(),,,(),,,(][)(zxyyxyzxzxxzyzyzyxzyxzyxcbazyxczyxbzyxaabccba则或混合积（三重数积）为钝角时取负号。正号，为锐角时取的夹角与为或,coscos][)(cbacbacbaabccba混合积（三重数积）的绝对值表示以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积][)(abccba混合积（三重数积）][][][][][][)()()()()()(acbcbabaccabbcaabcbcaabccabbacacbcba混合积（三重数积）共面cbaabc,,0][向量代数的常见题型（1）向量的基本运算（2）证明恒等式或简化算式（3）利用向量方法求解几何问题例题例1：选择题，下列命题正确的有（）。（1）若a、b均为非零向量，则上述命题都不正确。..;.;.;.babaDbabaCbabaBbabaA例1：选择题，下列命题正确的有（）。（2）.,.;).();().(00,0.222bacbcaDbabaCcbacbaBbabaA则必有若；或则必定有若例1：选择题，下列命题正确的有（）。（3）).().(cb,,).(b.;00,0.baccbaDacbaCabaBbabaA积；为棱的平行六面体的体以于的几何意义是它的值等形的面积；为邻边构成的平行四边两向量与的几何意义是由或则必有若例1：选择题，下列命题正确的有（）。（4）C.0.;0.;0.;0.,,baDbaCbaBbaAbababa则必有（）。系式为非零向量，且满足关已知例1：选择题，下列命题正确的有（）。(5)B..;.;.;.,0,,abDcaCcbBbcAbacbacba（）。则满足关系式设三向量例1：选择题，下列命题正确的有（）。(6)A1.;2/2.;22.;2.,22,2,DCBAbabababa（）。则及的模分别为已知向量例2：选择题，下列向量为单位向量的有(CD)。).cos,cos,.(cos;313131.;313131..DkjiCkjiBkjiA解题思路（1）两个向量a、b平行的判别法：.0)3),,,(),,,(21332211321321bababababbbbaaaaba证明证明）若。，使）证明存在（2）两个向量a、b垂直的判别法0),,,(),,,(201332211321321babababbbbaaaaba证明）若。）证明（3）判共线0,,,BCABCBA只需证明共线判（4）判共面0,,,,,ADACABDCBAADACAB）（共面，只需证明四点共面或判（5）计算面积、体积。为棱的四面体的体积以。积为棱的平行六面体的体以。为邻边的三角形的面积以。面积为邻边的平行四边形的以cbacbacbacbababababa)(61V,,)(V,,21S,S,例3：2042502301,0,042,5,23),4,1,2(),2,5,3(得：）（）（）（则只需）轴的单位向量为（而）（解：轴垂直？与使满足什么条件时，才能，试判断设OzbaOzbaba例4三点共线。故：证：三点共线。试证不共线，若与设非零向量DBAeeeeBDABeeCDBCBDDBAeeCDeeBCeeABee,,0)(5)(),(5,,),(3,82,21212121212121例5四点共面。故：证：共面。试证不共线，若与设非零向量DCBAeeeeeeeeeeeeeeeeADACABDCBAeeADeeACeeABee,,,0)(18)(18)(3)(6)(3)]82()[()(,,,),(3,82,221121212121212121212121例6555.12225.12161215213400542121)3,4,0(),0,5,4()1,3,1(),2,6,5(),2,1,1(ACSBDkjikjiACABSACABACABCCBA高意义解：利用向量积的几何边上的高。的面积及为顶点的求以（二）平面平面的方程平面的法线向量平面与平面相互平行、垂直的条件平面与平面的夹角点到平面的距离求平面的方程（二）平面1、平面的方程（1）点法式法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，该向量称为该平面的法线向量。（1）点法式n=(A，B，C)为平面的法向量过点(x0，y0，z0)以n为法方向的平面方程为：A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0。(2)一般式平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0，法线向量：n=(A，B，C)。特殊的平面方程：如1）3x+4y+5z=0(D=0)，一个通过原点的平面。2）4x+3y-12=0法线向量：n=(4，3，0)法线向量n在z轴上的投影为零，因此n垂直于z轴，平面平行于z轴。3）z=2过点(0,0,2)且平行于xOy面的平面。（3）截距式如果一平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，则平面的截距式方程为a,b,c分别为平面在x,y,z轴上的截距。1czbyax(4)特殊平面1）Ax+By+Cz=0过原点的平面2）Ax+By+D=0平行于Z轴的平面Ax+Cz+D=0平行于Y轴的平面By+Cz+D=0平行于X轴的平面3)Ax+By=0过Z轴的平面Ax+Cz=0过Y轴的平面By+Cz=0过X轴的平面(4)特殊平面4)Cz+D=0平行于XOY坐标面的平面Ax+D=0平行于YOZ坐标面的平面By+D=0平行于ZOX坐标面的平面5)x=0YOZ坐标面y=0ZOX坐标面z=0XOY坐标面三元一次方程所表示的图形是平面2、有关平面的问题平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法线向量平面2：A2x+B2y+C2z+D2=0，法线向量),,(1111CBAn),,(2222CBAn（1）两平面的夹角两平面的法线向量的夹角为两平面的夹角。夹角通常指锐角。（2）两平面相互垂直两平面相互垂直即法线向量相互垂直，即法线向量的点积为零。两平面相互平行的充要条件：12A1A2+B1B2+C1C2=0（3）两平面相互平行两平面相互平行即法线向量平行，两平面平行的充要条件：12212121CCBBAA（4）两平面相互重合两平面重合的充要条件：1与2重合21212121