搜索
学案2常用逻辑用语返回目录1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题,的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题判断真假判断为真判断为假返回目录命题表述形式原命题若p,则q逆命题否命题逆否命题若q,则p若p,则q若q,则p(2)四种命题间的逆否关系逆命题否命题逆否命题返回目录(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.3.命题p∧q,p∨q,p的真假判断返回目录相同没有关系pqp∧qp∨qp真真真假假真假假真真真真真真假假假假假假¬4.含有一个量词的命题的否定5.充分条件与必要条件(1)如果pq,则p是q的,q是p;(2)如果pq,qp,则p是q的.6.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论.返回目录命题命题的否定x∈M,P(x)x∈M,P(x)充要条件充分条件必要条件x∈M,P(x)x∈M,P(x)返回目录考点一判断含有逻辑联结词的命题的真假分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假.(1)p:3是9的约数，q:3是18的约数;(2)p:菱形的对角线相等，q:菱形的对角线互相垂直;(3)p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同,q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等;(4)p:π是有理数,q:π是无理数.返回目录【分析】由含逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的形式及其真值表直接判断.【解析】(1)∵p是真命题,q是真命题,∴p∨q是真命题,p∧q是真命题,p是假命题.(2)∵p是假命题,q是真命题,∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p是真命题.(3)∵p是假命题,q是假命题,∴p∨q是假命题,p∧q是假命题,p是真命题.(4)∵p是假命题,q是真命题,∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p是真命题.【评析】判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结构形式；③由真值表判断真假.返回目录返回目录分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假.(1)p:4∈{2,3},q:2∈{2,3};(2)p:1是奇数,q:1是质数;(3)p:0∈,q:{x|x2-3x-50}R;(4)p:5≤5,q:27不是质数.＊对应演练＊返回目录(1)∵p是假命题,q是真命题,∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,p为真命题.(2)∵1是奇数，∴p是真命题，又∵1不是质数，∴q是假命题，因此p∨q为真命题，p∧q为假命题,p为假命题.(3)∵0,∴p为假命题,又∵x2-3x-50∴{x|x2-3x-50}=成立.∴q为真命题.∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,p为真命题.2293x2293R2293x2293x返回目录(4)显然p:5≤5为真命题,q:27不是质数为真命题,∴p∨q为真命题,p∧q为真命题,p为假命题.返回目录考点二判断命题的“否定”的真假写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p:x∈R,(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:x∈R，x2+2x+2≤0;(4)s:至少有一个实数x，使x3+1=0.0;41x-x2【分析】在全称命题和特称命题的否定中，应明确全称量词与存在量词是如何对应转换的，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.返回目录【解析】(1)p:x∈R,x2-x+＜0.(假）x∈R,x2-x+=(x-)2≥0恒成立.(2)q:至少存在一个正方形不是矩形.(假)(3)r:x∈R,x2+2x+2＞0.(真)(4)s:x∈R,x3+1≠0.（假）414121【评析】命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.＊对应演练＊写出下列命题的否定，并判定真假.(1)所有的矩形都是平行四边形;(2)有些实数的绝对值是正数.(1)至少存在一个矩形不是平行四边形(假).(2)所有实数的绝对值都是正数(假).返回目录返回目录考点三四种命题及真假的判断把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.(1)正三角形的三内角相等;(2)全等三角形的面积相等;(3)已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.【分析】先找出原命题的条件p和结论q,然后根据四种命题之间的关系直接写出.返回目录【解析】(1)原命题:若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等.逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形(或写成:三个内角相等的三角形是正三角形).否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等.逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成:三个内角不全相等的三角形不是正三角形).返回目录(2)原命题:若两个三角形全等,则它们的面积相等.逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的三角形全等).否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的三角形面积不相等).逆否命题:若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等.返回目录(3)原命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p,“a+c=b+d”是结论q,所以逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b,c与d都相等.否命题:已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d不都相等,则a+c≠b+d.逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.【评析】已知原命题,写出它的其他三种命题,首先把原命题改写成“若p,则q”的形式,然后找出其条件p和结论q,再根据四种命题的定义写出其他命题.逆命题:“若q，则p”；否命题：“若p,则q”;逆否命题：“若q，则p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动.返回目录返回目录把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断其真假.（1）当x=2时，x2-3x+2=0;（2）对顶角相等.＊对应演练＊返回目录（1）原命题:若x=2，则x2-3x+2=0.为真命题.逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2.为假命题.否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0.为假命题.逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.为真命题.（2）原命题:若两个角是对顶角,则它们相等.为真命题.逆命题:若两个角相等,则它们是对顶角.为假命题.否命题:若两个角不是对顶角,则它们不相等.为假命题.逆否命题:若两个角不相等,则它们不是对顶角.为真命题.考点四充要条件的判断给出下列命题：①p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0;②p:两个三角形相似；q:两个三角形全等;③p:m-2;q:方程x2-x-m=0无实根;④p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等.试分别指出p是q的什么条件.【分析】(1)首先分清条件和结论.(2)再看条件能否推出结论,结论能否推出条件.返回目录返回目录【解析】①∵x-2=0(x-2)(x-3)=0，而(x-2)(x-3)=0/x-2=0,∴p是q的充分不必要条件.②∵/两个三角形全等,两个三角形相似,∴p是q的必要不充分条件.③∵m-2方程x2-x-m=0无实根,方程x2-x-m=0/m-2,∴p是q的充分不必要条件.④∵矩形的对角线相等,∴pq,而对角线相等的四边形不一定是矩形,∴q/p,∴p是q的充分不必要条件.返回目录【评析】(1)判断p是q的什么条件,关键是看p能否推出q,q能否推出p.(2)若“pq”是否成立，不能判断或不好处理，则可看它的逆否命题是否成立.(3)否定一个结论时,只需举一个反例即可.返回目录＊对应演练＊指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;(2)对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;(3)非空集合A,B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;(4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.(2)易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,显然qp,但p/q,即q是p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但q/p,故p是q的充分不必要条件.返回目录(1)在△ABC中,∠A=∠BsinA=sinB,反之,若sinA=sinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.考点五充要条件的证明已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【分析】此类问题需证明两个命题,即充分性与必要性,故应分清谁是条件,谁是结论,然后再分别证明.【证明】(必要性)∵a+b=1,∴a+b-1=0,∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.返回目录(充分性)∵a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,∴a≠0且b≠0,∴a2-ab+b2=(a-)2+0,∴a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.2b243b【评析】有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,“结论”是证明命题的.证明要分两个环节:一是充分性;二是必要性.返回目录＊对应演练＊证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明:充分性:若ac0,则b2-4ac0,且ca0,∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.必要性:若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,则Δ=b2-4ac0,x1x2=ca0,∴ac0.综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.返回目录考点六利用复合命题的真假求参数的值或范围已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.【分析】（1）“p∧q”为假，包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”；（2）“p∨q”为假，则“p假q假”；（3）“p”为假，则“p真”.返回目录【解析】若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，则Δ=m2-40m0，若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0,解得1m3，即q:1m3.因为p或q为真，所以p,q至少有一个为真.又p且q为假，所以p,q至少有一个为假.因此，p,q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假,q为真.m2m≤2m≤1或m≥31m3,即m≥3或1m≤2.解得m2，即p:m2.或所以返回目录【评析】（1）由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假.假若p且q真，则p真，q也真;若p或q真，则p,q至少有一个真；若p且q假，则p,q至少有一个假.（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算;把“p且