1.空间几何体的结构、三视图和直观图

第一讲：空间几何体的结构、三视图和直观图1．准确理解几何体的定义，是真正把握几何体结构特征的关键．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)【思路导引】根据学过的几何体结构特征，可用反例法否定命题．【解析】对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故①假；对于②，两截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面，故②真；对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故④真．(如图(2))【答案】②④【方法探究】(1)对于此类概念辨析题，要正确把握各种几何体的特征性质，且灵活运用线面位置关系的判断，举反例判断是解决问题常见方法．(2)三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【练习】下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系．.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．例2解答：如下图1．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()[答案]C[解析]本题考查了三视图知识，解题的关系是掌握三视图与直观图的知识，特别是应明确三视图是从几何体的哪个方向看到的．由三视图中正(主)视图、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.2．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB.根据已经给出的此四棱锥的正视图，画出其俯视图和侧视图．解析：斜二测画法：1．在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′点，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴垂直于x′O′y′平面且长度不变．如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面图形的实际面积是.例3【练习】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()解析：如图①、②所示的实际图形和直观图由②可知，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′答案：D课堂互动讲练例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．题型四：计算问题解：如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×23=3,BF=32BE=332,AF=22BFAB=344=38,∴△ABE的面积为S=21×BE×AF=21×3×38=2.∴所求的三角形的面积为2.2．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.[分析]由三视图的形状大小，还原成几何体；再利用体积公式和表面积公式求解．[解析](1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥．且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO＝4，O点是AC与BD的交点．∴该几何体的体积V＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，OE⊥AB，OF⊥BC，侧面VAB中，VE＝VO2＋OE2＝42＋32＝5，∴S△VAB＝12×AB×VE＝12×8×5＝20，侧面VBC中，VF＝VO2＋OF2＝42＋42＝42，∴S△VBC＝12×BC×VF＝12×6×42＝122.∴该几何体的侧面积S＝2(S△VAB＋S△VBC)＝40＋242.[点评]由三视图还原成几何体，需要对常见的柱、锥、台、球的三视图非常熟悉，有时还可根据三视图的情况，还原成由常见几何体组合而成的组合体．方法总结几种常见的多面体