全国数学建模大赛试题――空中加油(B)

2005年全国部分高校研究生数学建模竞赛B题空中加油对飞行中的飞机进行空中加油，可以大大提高飞机的直航能力。为了简化问题，便于讨论，我们作如下假设。设A为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n架加油机（简称辅机）。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L（公里）。辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A的最远距离。显然当0n时，作战半径2/0Lr。问题1设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为nr。当4,3,2,1n时，求作战半径nr。问题2在问题1的假设下，当4n时，尽你的可能求出nr（提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出nr的上、下界；讨论当n的过程中nr与n的渐近关系；试给出判断最优作战方案（主机能够飞到nr处）的必要条件或充分条件。问题3若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为nR，讨论与问题1、问题2类似的问题。问题4若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,AA，有n架辅机，主机从基地A起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且可在任一基地降落。其他同问题3的假设，讨论21,AA的选址和主机的作战半径*nR。问题5设ABCD为矩形，LAB4，LAD2，DBA,,为三个空军基地，主机从A起飞，到C执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其他同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。