直线一级倒立摆控制器设计(哈工大2013)

哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）11.概述自动控制理论（包括古典部分和现代部分）是电气工程系学生的一门必修专业基础课，课程中的一些概念相对比较抽象，如系统的稳定性、可控性、收敛速度和抗干扰能力等。倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，它是一个理想的教学实验设备，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。本课程设计的目的是让学生以一阶倒立摆为被控对象，了解用古典控制理论设计控制器（如PID控制器）的设计方法和用现代控制理论设计控制器（极点配置）的设计方法，掌握MATLAB仿真软件的使用方法及控制系统的调试方法，加深学生对所学课程的理解，培养学生理论联系实际的能力。本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，课程设计包括三方面的内容：（1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；（2）倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；（3）倒立摆系统的状态空间极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。1.1实验设备简介一级倒立摆系统的结构示意图如图1-1所示。小车滑轨皮带电机摆杆图1-1一阶倒立摆结构示意图系统组成框图如图1-2所示。图1-2一级倒立摆系统组成框图系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）2该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。1.2设计内容1.2.1．建立一级倒立摆数学模型在《自动控制理论》课程中，有一章专门讲述控制系统的数学模型的建立方法，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型，在此以一级倒立摆为例，建立其数学模型，并在摆角0附近将其非线性数学模型线性化，学生通过实际数学模型的推导，熟悉机理建模的一般方式，加深对控制对象的理解。1.2.2．控制系统的MATLAB仿真《自动控制理论》（古典部分）中所讲的控制器的设计方法很多，如根轨迹设计法、频率特性设计法和PID设计法，在实际系统中PID控制器应用最多，在本课程设计中选择PID控制器，PID控制器的特点是只能对单变量（此处为摆杆角度）进行控制。在《现代控制理论》中，采用状态空间极点配置方法设计控制器，该方法可对多变量进行控制（如同时控制摆杆角度和小车位置），在这里通过对倒立摆的控制，让学生理解基于传递函数的单变量控制和基于状态空间的多变量控制的差别。本部分课程设计的目的是学习PID控制器和状态空间极点配置控制器的设计方法，熟悉控制器设计的一般方法，了解控制器参数对系统性能指标的影响，学会根据控制指标要求和实际响应调整控制器的参数，加深学生对所学内容的理解。学生自行编制倒立摆的MATLAB控制仿真软件，自行进行控制器的设计和仿真，仿真的目的一方面是让学生得到满足系统性能指标的控制器参数，另一方面是让学生将理论分析与仿真结果进行对比，更直观地理解各参数对控制性能的影响。1.2.3.倒立摆控制系统实物调试具体实验步骤如下：（1）将小车推到导轨正中间位置，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态；（2）给计算机和电控箱通电；（3）设置控制器参数；（4）控制倒立摆；由于PID控制只能控制摆杆的摆角，不能控制小车的位置，所以在PID控制中小车可能向一个方向运动，此时需用手轻轻扶一下摆杆，以避免小车“撞墙”。极点配置控制方式可同时对摆杆角度和小车位置进行控制，因此不会出现“撞墙”现象。（５）观察控制效果：用金属棒碰一下摆杆，观察倒立摆在干扰信号作用下的输出响应。若不能达到指标要求，分析原因，重新设计，直到对实际系统的控制达到满意的结果。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）32.直线一级倒立摆的数学模型设计目的：建立一级倒立摆系统的数学模型，并在摆角0附近将其非线性数学模型线性化，学生通过实际数学模型的推导，加深对系统建模和模型线性化问题的理解。进行Matlab仿真，验证建模的准确性，了解存在不稳定极点时系统的响应。设计要求：写出系统的动态方程，得出传递函数和状态空间表达式。用Matlab进行阶跃输入仿真，对控制对象的模型加以验证。设计报告要求（1）推导一阶倒立摆的数学模型，并将其在工作点线性化，给出微分方程、传递函数和状态空间表达式三种数学模型；（2）给出单位阶跃响应曲线。（3）分析建模的准确性和系统的开环不稳定特性的响应形式。2.1直线一级倒立摆数学模型的推导系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。图2-1直线一级倒立摆模型本系统内部各相关参数定义如下：M小车质量哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）4m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。图2-2小车及摆杆受力分析应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM(2-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin)dNmxldt(2-2)即：2cossinNmxmlml(2-3)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：FmlmlxbxmMsincos)(2（2-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos)dPmgmldt(2-5)即：2sincosPmgmlml(2-6)力矩平衡方程如下：INlPlcossin(2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于sinsin,coscos,，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）5cossin)(2xmlmglmlI(2-8)1．微分方程模型设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比很小，即1时，则可以进行近似处理：1cos，sin，0)(2dtd。为了与控制理论的表达习惯相统一，即u一般表示控制量，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：umlxbxmMxmlmglmlI)(2(2-9)2．传递函数模型对方程组（2-9）进行拉普拉斯变换，得到)()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI(2-10)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度，求解方程组（2-10）的第一个方程，可以得到)(])([)(22ssgmlmlIsX(2-11)或222smlsXsImlsmgl(2-12)如果令vx，则有：22smlVsImlsmgl(2-13)把上式代入方程组（2-10）的第二个方程，得到)()()()()()()(22222sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImM(2-14)整理后得到以输入力u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数：22432()()()()mlssqUsbImlMmmglbmglssssqqq(2-15)其中])())([(22mlmlImMq3．状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：DuCXYBuAXX(2-16)方程组（2-9）对,x解代数方程，得到如下解：哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）6uMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()((2-17)整理后得到系统状态空间方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(000101000000100xxxyu(2-18)由(2-9)的第一个方程为：2Imlmglmlx对于质量均匀分布的摆杆有：213Iml于是可以得到：2213mlmlmglmlx化简得到：3344gxll(2-19)设TXxx，ux则有：0100000001000103300044xxxxugll1000000100xxxyu（2-20）实际系统参数如下；M小车质量1.096Kg哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）7m摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：220.027250.01021250.26705ssXss(2-21)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：20.027250.01021250.26705sVss(2-22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.91692.30942ssUssss(2-23)以外界作用力作为输入的系统状态方程：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.828502.35655xxxxu1000000100xxxyu