2.2.1椭圆及其标准方程(上课用)

上课班级：2011年10月22（7，9）班及其标准方程生活中的椭圆1.问题情境如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？数学实验•[1]取一条细绳，•[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2•[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形F1F2M观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以M到两个定点的距离和也固定。动手画：[一]椭圆的定义•平面上到两个定点的距离的和等于定长（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。F1F2M椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：CaMFMF2221[1]建系设点[2]列等式[3]等式坐标化[4]化简[5]证明[二]求椭圆的方程2.学生活动♦回忆如何求圆的方程♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2形式一F1F2形式二OxyMOxy解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，椭圆的焦距2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y3.建构数学（问题：下面怎样化简？）aMFMF221222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标1)椭圆的标准方程的推导整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项后平方222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax.0,,2222cacaca所以即由椭圆定义知代入上式得令),0(222bbca)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：2)椭圆的标准方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2∣MF1∣+∣MF2∣=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM3)两类标准方程的对照表共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.2x2y判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标1162522yx答：在X轴。（-3，0）和（3，0）116914422yx答：在y轴。（0，-5）和（0，5）112222mymx答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标022525922yx192522yxCByAx22在上述方程中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？答：A、B、C同号，且A不等于B。13222yx1312122yx2.应用概念：[1]两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0）、，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10.例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.192522yx这个椭圆的标准方程是0122babyaxx所以设它的标准方程是轴上，解：因为椭圆的焦点在82,102ca3,9,4,5222bcabca[2]求两个焦点的坐标分别是（0，-2）﹑（0，2），并且经过点的椭圆方程。0122babxayy所以设它的标准方程是轴上，解：因为椭圆的焦点在2523，1021102310210a2c又6410222cab161022xy所求椭圆的标准方程为222252322523222a由椭圆的定义知，练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程15[1]a=4，b=1，焦点在x轴[2]a=4，c=，焦点在y轴上[3]a+b=10,c=求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。a、b或a、c或b、c.524:课堂练习1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.10192522yxA2.已知椭圆的方程为，焦点在X轴上，则其焦距为（）A.2B.2C.2D.18222myx28mm2282m222mA4.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__________.1,6ca2213635yx思考：[1]已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程(A的轨迹方程是一个椭圆)(1)椭圆的定义CaaMFMF22221012222babyax(2)椭圆的标准方程)0(12222babxay焦点在x轴：焦点在y轴：(3)求椭圆的标准方程（代定系数法）作业：习题2.2第1,2题