2.2.1椭圆及其标准方程

天体的运行如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：椭圆的画法椭圆及其标准方程F1F2一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？线段F1F2轨迹不存在1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。1F2FM几点说明：1、F1、F2是两个不同的定点；2、M是椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）下面我们来求椭圆的标准方程.（2）动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为不小于8，则P点的轨迹为（）A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定课堂练习1（1）动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定B♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy2.求椭圆的方程：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)OXYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)(:ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(ab0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。aA1yOF1F2xB2B1A2cb三、①椭圆方程的几何意义：xyo1F2F012222babyax如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？②椭圆的第二种形式：1oFyx2FM012222babxay012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)在Ｘ轴上F(0，±c)在Ｙ轴上a,b,c之间的关系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM四、两类标准方程的对照表：注:哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。例１写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；11622yx11622yx11622yx或五、数学应用：例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。)23,25((1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：192522yx(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax由椭圆的定义可知：又因c=2，所以椭圆的标准方程为：16y10x22)23,25(102)23()225()23()225(22222a10所以a故b2=a2-c2=10-22=6课堂练习2：11625)1(22yx11)5(2222mymx11616)3(22yx0225259)4(22yx123)2(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；1m16ym25x22＝＋＋－探究与互动：29mmmmm1625016025析：方程表示圆需要满足的条件：1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；1m16ym25x22＝＋＋－探究与互动：29)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；1m16ym25x22＝＋＋－探究与互动：29)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。1m16ym25x22＝＋＋－探究与互动：29)1(m292516)2(mm且2916m析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：mmmm1625016025__________,1A22轴上的充要条件是表示焦点在表示椭圆的充要条件是思考：方程yByx解题感悟：方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。0,0,0BABABA练习3：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。1141142222kyxkyx得解：由∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆41k1解之得：0k4∴k的取值范围为0k4。例3、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，求的周长。2241xy1F2ABFyxoAB1F2F∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,∴|AB|+|AC|=12|BC|,∴点A的轨迹是以B､C为焦点的椭圆(除去与x轴的交点).且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.故点A的轨迹方程是(y≠0).2213620xy例4:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分别为(-4,0)､(4,0).定义法练习：已知A(－1,0),B(1,0)，线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_____________.x2/4+y2/3=1椭圆及其标准方程(2)2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO复习旧知•例1求焦点在坐标轴上，且经过两点•的椭圆的标准方程。)1,32(),2,3(BAx2/15+y2/5=1分析一：当焦点在x轴上时，设方程x2/a2+y2/b2=1当焦点在x轴上时，设方程x2/b2+y2/a2=1分析二：设方程mx2+ny2=1(m0,n0)•(2)求与椭圆x2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点(3,0)的椭圆的标准方程。•x2/9＋y2/8＝1•(3)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：x－y－2＝0的距离为，求椭圆方程。•x2/8＋y2/4＝12211222222cmymxymycmxx轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在例2、在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？422yxoxyPD相关点法(转移法):即利用中间变量求曲线方程.的轨迹。求点上，并且在点垂线段轴作向从这个圆上任意一点变式：已知圆MMPPMPPMPPxPyx,'2',,9'22yxoPP’M2219xyP的最大值）（的面积）三角形（求若是两个焦点上的一点，是椭圆：例212102121222160,1641003PFPFPFFPFFFFyxP100100)2(22010)2(3364sin2132561443201443)(1441260cos2-)1(2021212212121212121212121221221212221202122212121的最大值为”成立时“当且仅当，，又中由余弦定理知在△，解：由椭圆定义知PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaPFFPFPFSPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFPFPF2tan1221PFFbPFFS△焦点三角形面积公式：的最大值。）求（面积，求）若（椭圆上任一点。是的两个焦点，是椭圆、已知的周长。构成与椭圆的另一个焦点、两点，求、的直线与椭圆交于的一个焦点、过椭圆练习211212221,22122PFPF2PFF6PFF1P,164100FF2ABFFBABAF141;yxyx的轨迹方程。，求点之积是，且他们的斜率相交于点直线），的坐标分别为（、：如图，设例M94-MBMAM,).0,5(,05BA4ABMxyo练习：课本P42，练习第4题七.走进高考：•（海南２００９高考（理）第２０题第一问）已知椭圆的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在Ｘ轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆的方程．（海南２００８高考（文）第１５题）过椭圆的右焦点作一条斜率为１的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________.1222yx